[수학][10] 유클리드 기하학 <원론> 1권 - 7 (명제 6)

※ 해당 게시글은 주제를 탐구하면서 주관적인 생각을 정리 한 글입니다.

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이전 글을 통해서 유클리드 기하학 <원론> 1권 48개의 명제 중

명제 5에 대해 알아보았다.

이어서 명제 6에 대해 알아보겠다.

[수학][9] 유클리드 기하학 <원론> 1권 - 6 (명제 5)

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따라서 이번 글의 주제는

< 유클리드 기하학 <원론> 제1권 명제 6 >

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삼각형의 두 각이 같은 경우,
그 각들과 마주 보는 두 변도 서로 같을 것이다.

 

사용되는 공리 

• [공리 5] : 전체는 전체의 일부보다 무조건 크다.

사용되는 공준

• [공준 1] : 두 점이 주어지면 두 점을 연결하는 직선을 그을 수 있다는 규칙

사용되는 명제

• [명제 3] : 길이가 같지 않은 주어진 두 종료된 직선(선분)에 대하여 길이가 긴 선분에서 짧은 선분과 같은 길이만큼 빼기
• [명제 4] : 두 개의 삼각형이 존재할 때, 대응되는 두 변의 길이가 같고 그 사잇각의 크기가 같으면, 나머지 한편과, 두 각도 모두 같아지게 되면서, 두 삼각형은 합동이 된다.

 

[명제 6]
삼각형의 두 각이 같은 경우, 그 각들과 마주 보는 두 변도 서로 같을 것이다.
※증명에 사용된 그림은 알지오매스 사이트를 통해 제작하였습니다.

- 0 -
삼각형 ABC에 대해서, 각 ABC = 각 ACB인 삼각형이 있다. (∠ABC=∠ACB)

 

- 1 -
만약 변 AB ≠ 변 AC이며, 변 AB > 변 AC라고 가정하자.

- 2 -
[명제 3]에 따라 비교적 길이가 더 긴 선분 AB에서,
길이가 더 짧은 선분 AC를 빼려고 한다. 이때
[명제 3]에 따라 선분 AB위에 선분 AC와 같은 길이를 가진 선분을 BD라 하자.
(BD=AC)

 

- 3 -
[공준 1]에 따라 점 C와 점 D를 연결하는 종료된 직선(CD)을 그린다.

 

- 4 -
[명제 4]에 따라 삼각형 DBC와 삼각형 ACB에 대해서
선분 DB=선분 AC, 선분 BC는 공통, 그리고 처음에 주어진 조건 각 ABC=각 ACB이므로
삼각형 DBC와 삼각형 ACB는 (SAS) 합동이다. (△DBC≡△ACB)

△DBC

△ACB

 

- 5 -
즉, 전체인 삼각형 ACB와 그 일부분인 삼각형 DBC가 같다는 것인데,
[공리 5]에 따르면, 전체인 삼각형 ACB는 그 일부인 삼각형 DBC과 같으면 안 된다.

- 6 -
따라서 공리에 모순이 되므로 삼각형 DBC와 삼각형 ACB은 
서로의 일부가 되어서는 안 되고
완전히 같아야 함에 따라 변 AB는 변 AC와 같아야 한다.

결국 삼각형의 두 각이 같은 경우, 그 각들과 마주 보는 두 변은 서로 같다.
(AB=AC)

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주관적 핵심
(주관적으로 느낀 숨겨진 핵심)

- 1 -
이전 명제들의 증명과 다르게 가정과 모순을 이용하여 증명한 것

 

- 2 -
이전 [명제 5]의 주관적 핵심에서도 언급했었던
"어느 각도에 대해서 알고자 할 때 합동을 최대한 이용한다"에 대해서
추가로, 어느 각도 또는 해당 각도와 마주 보는 변 등
각도와 연결되어 있는 변 역시 합동을 이용하는 것 같다.

하지만 아직 모든 것을 포함하는 명확한 정리까지는 부족한 것 같다.
따라서 이에 대해서는 더 심도 있는 탐구가 필요할 것 같다.

 

 이번 글은 요기서 마치며, 다음 주제는 이어서 1권 명제 7에 대해 탐구할 것 같다.

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※ 해당 게시글은 주제를 탐구하면서 주관적인 생각을 정리 한 글입니다.