[수학][12] 유클리드 기하학 <원론> 1권 - 9 (명제 8)

※ 해당 게시글은 주제를 탐구하면서 주관적인 생각을 정리 한 글입니다.

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이전 글을 통해서 유클리드 기하학 <원론> 1권 48개의 명제 중

명제 7에 대해 알아보았다.

이어서 명제 8에 대해 알아보겠다.

[수학][11] 유클리드 기하학 <원론> 1권 - 8 (명제 7)

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따라서 이번 글의 주제는

< 유클리드 기하학 <원론> 제1권 명제 8 >

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두 삼각형에 대해서 대응되는 세 변이 같으면
두 삼각형은 합동이 되어, 대응되는 각들도 모두 같다.
(SSS 합동)

 

사용되는 공리

• [공리 4] : 두 개의 도형이 완전히 겹쳐지면, 두 도형은 동일한 도형이다. (합동)

사용되는 명제

• [명제 7] : 주어진 종료된 직선(선분)에 대해서, 해당 선분의 양끝 점을 각각 가지는 두 직선이, 동일한 방향에서 한 점에서 만나는 경우, 또 똑같이 해당 선분의 양 끝점을 가지며, 처음 두 직선과 같은 길이를 가진 두 직선을 그었을 때 다른 점에서 만날 수 없다.

 

[명제 8]
두 삼각형에 대해서 대응되는 세 변이 같으면
두 삼각형은 합동이 되어, 대응되는 각들도 모두 같다.
(SSS 합동)
※증명에 사용된 그림은 알지오매스 사이트를 통해  제작하였습니다.

 

- 0 -
두 삼각형 △ABC, △DEC에 대해서,
선분 AB=선분 DE, 선분 AC=선분 DF, 선분 BC=선분 EF라고 하자.
(‘삼각형’의 표현은 편의와 가독성을 위해 ‘ △ ’ 기호로 대체한다.)

 

- 1 -
△ABC 위에 △DEF를 겹치는데 우선 점 E와 점 B를 맞춘다.
그리고 선 BC와 선 EF를 맞춘다.

 

- 2 -
그러면 선분BC = 선분 EF 이므로 점 C와 점 F가 겹친다.

 

- 3 -
그리고
밑변BC의 끝 점을 각각 포함하는 두 선분 BA와 CA 위에,
밑변 EF(=BC)의 끝 점을 각각 포함하는 두 선분 ED와 EF가 겹쳐질 것이다.
이에 따라 점 A와 점 D는 겹친다. 그 이유는 아래와 같다. 

- 4 -
만약 두 선분 BA, CA위에 두 선분 ED와 FD가 겹쳐지지 않을 경우
이는 [명제 7]에 모순된다.
즉, 선분(BC = EF)을 밑변으로 하고,
해당 선분의 양 끝점(B, C or E, F)을 각각 포함하는 두 직선(BA, CA or ED, FD)이
하나의 교점(A or D)을 생성할 때,
두 선분의 각 길이에 따라 단 하나의 교점을 유일하게 가진다.

따라서
선분AB와 선분 DE가 만나는 교점과,
선분 AC와 선분 DF가 만나는 교점은
(선분 AB=선분 DE, 선분 AC=선분 DF 이므로) 유일하며 같아야 한다.
(점 A = 점 D)

 

- 5 -
결국 삼각형 ABC와 삼각형 DEF가 완전히 겹쳐지게 되고
[공리 4]에 따라 두 도형은 합동이게 되어,
대응되는 각들도 모두 같다.
(SSS합동)

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주관적 핵심
(주관적으로 느낀 숨겨진 핵심)

 

- 1 -
명제 8은 [명제 4 : SAS합동 증명]과 같이 합동 조건에 대한 성질을
증명하는 명제인 것 같다.

 

- 2 -
특히 겹치는 것에 대해서
결국 시각적으로 겹쳐지면 같은 것으로 받아들이는 것이 당연한 것인데,
이 당연함을 어떻게 증명하는가에 대해 조금의 거리감이 있었다.
그래서 탐구한 결과 핵심은
당연한 것을 쪼개어 더 이상 나눌 수 없는(?) 점, 선 등으로 접근하고,
추가로 모순을 이용하여
당연함을 논리적으로 설명하는 것이 핵심이라 생각한다.

- 2 - 에 대해서 새로운 생각이 있으신 분은 공유해 주시면 감사하겠습니다.

 

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주관적인 명제의 핵심 성질 종합 (수정 필요)

삼각형의 성질

• 합동 : [명제 4 : SAS 합동],  [명제 8 : SSS 합동]
• 유일성 : [명제 7],
• 변과 각도의 관계 : [명제 5 : 이등변삼각형],   [명제 6 : 이등각(?) 삼각형], 
• 정삼각형 : [명제 1]

 

선 그리고 원의 성질  *(선과 원 두 도형모두 점들의 모임이라는 공통점)

• 길이와 원의 관계 : [명제 2], [명제 3]

 

이번 글은 요기서 마치여, 다음 주제는 이어서 1권 명제 10에 대해 탐구할 것 같다.

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※ 해당 게시글은 주제를 탐구하면서 주관적인 생각을 정리 한 글입니다.