[수학][14] 유클리드 기하학 <원론> 1권 - 11 (명제 10)

※ 해당 게시글은 주제를 탐구하면서 주관적인 생각을 정리 한 글입니다.

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이전 글을 통해서 유클리드 기하학 <원론> 1권 48개의 명제 중

명제 9에 대해 알아보았다.

이어서 명제 10에 대해 알아보겠다.

[수학][13] 유클리드 기하학 <원론> 1권 - 10 (명제 9)

따라서 이번 글의 주제는

< 유클리드 기하학 <원론> 제1권 명제 10 >

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종료된 직선(선분) 이등분하기

 

사용되는 명제

• [명제 1] : 종료된 주어진 직선(선분) 위에 정삼각형 그리기
• [명제 4] : 주어진 종료된 직선(선분)과 같은 길이를 가지고 주어진 점을 끝점으로 하는 직선 그리기
• [명제 9] : 주어진 각 이등분하기

 

[명제 10]
종료된 직선(선분) 이등분하기
※증명에 사용된 그림은 알지오매스 사이트를 통해  제작하였습니다.

- 0 -
종료된 직선(선분) AB에 대해서 이등분하고자 한다.

 

- 1 -
[명제 1]에 따라 선분 AB위에 정삼각형 ABC를 그리는다.
(이등분한다. : 대칭성 이용 → 대칭성 : 정삼각형 이용 → 정삼각형 : 원을 이용)

 

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[명제 9]에 따라 ∠ACB를 이등분하는 직선을 구성하고,
해당 직선과 선분 AB가 만나는 교점을 D라고 하자.

 

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[명제 4]에 따라 △ACD,△BCD에 대해서,
선분 AC=선분 BC,
선분 CD는 공통,
∠ACD = ∠BCD.
이므로 △ACD ≡ △BCD이다.
(SAS합동)
(이등분한다 : 대칭성 및 합동 이용 → 대칭성 및 합동 : 정삼각형 이용 → 정삼각형 → 원을 이용)

△ACD

△ACD ≡ △BCD

△BCD

 

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따라서 선분 AD = 선분 BD 이므로
주어진 선분 AB는 점 D에 의해 이등분되었다.

 

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주관적 핵심
(주관적으로 느낀 숨겨진 핵심)

- 1 -
[명제 9]에서 느낀 주관적 핵심을
[명제 10] 괄호를 통해 추가해 보았다.
그것이 [명제 10]의 핵심이라 생각했기 때문이다.

[명제 10]은
종료된 직선(선분)을 이등분하는 데 있어서,
합동과 대칭성이 필요했고, 그렇기에 정삼각형을 이용했다.
정삼각형이 필요했기에, 원을 이용했다.
그리고 원이 필요했기에, 정의를 이용했다.

정확히는 [정의 15]를 이용했으며 그 내용은 아래와 같다.

[정의 15]
원은 하나의 특이한 선으로 둘러싸인 평면 도형이다.
이 특이한 선은 원의 둘레라고 부르며,
원의 중심으로부터 원의 둘레까지 뻗는 모든 직선들은 반지름이며,
그 길이는(반지름) 모두 같다.

 

[명제 10]의 증명을 하면서, '이등분'이라는 단어를 보자, 
대칭성과 합동이 떠올랐고, 대칭성과 합동을 유도하기 위해서
정삼각형이 필요하다고 생각했는데,  그 생각이 맞은 것 같다.

이번 글은 요기서 마치며, 다음 주제는 이어서 1권 명제 11에 대해 탐구할 것 같다.

 

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※ 해당 게시글은 주제를 탐구하면서 주관적인 생각을 정리 한 글입니다.