[수학][15] 유클리드 기하학 <원론> 1권 - 12 (명제 11)

※ 해당 게시글은 주제를 탐구하면서 주관적인 생각을 정리 한 글입니다.

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이전 글을 통해서 유클리드 기하학 <원론> 1권 48개의 명제 중

명제 10에 대해 알아보았다.

이어서 명제 11에 대해 알아보겠다.

[수학][14] 유클리드 기하학 <원론> 1권 - 11 (명제 10)

따라서 이번글의 주제는

< 유클리드 기하학 <원론> 제1권 명제 11 >

 

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주어진 직선 위에 한 점으로부터 주어진 직선과 직각(수직)으로 직선을 그리기

 

사용되는 정의

• [정의 10] : 한 직선(AB) 위에 다른 직선(BC)이 세워져 있을 때, 두 이웃한 각(∠ACD,∠DCB)가 같다면, 그 각들을 서로 직각(90도)라고 부른다. 그리고 세워진 직선은 원래 직선의 수직이라 한다.

사용되는 공준

• [공준 1] : 두 점이 주어지면 두 점을 연결하는 직선을 그을 수 있다는 규칙

사용되는 명제

• [명제 1] : 종료된 주어진 직선(선분) 위에 정삼각형 그리기
• [명제 3] : 길이가 같지 않은 주어진 두 종료된 직선(선분)에 대하여 길이가 긴 선분에서 짧은 선분과 같은 길이만큼 빼기
• [명제 8] : 두 삼각형에 대해서 대응되는 세 변이 같으면. 두 삼각형은 합동이 되어 대응되는 각들도 모두 같다. (SSS 합동)

 

[명제 11]
주어진 직선 위에 한 점으로부터 주어진 직선과 직각(수직)으로 직선을 그리기
※증명에 사용된 그림은 알지오매스 사이트를 통해  제작하였습니다.

- 0 -
주어진 직선 AB 위에 한 점을 C라고 하자.

 

- 1 - 
직선 AC위에 임의의 점 D를 잡고,
[명제 3]에 따라 선분 CB위에 선분 CD와 같은 길이를 가진
선분을 CE를 구한다.
(직각은 주어진 직선에 대해 직선 각(180도)을
이등분하는 세워진 직선 때문에 생성된다. 이에 따라, 이등분해야 한다.)

 

- 2 -
[명제 1]에 따라 선분 DE 위에 정삼각형 DEF를 그린다.
(이등분한다 : 대칭성 및 합동 이용 → 대칭성 및 합동 : 정삼각형 이용 → 정삼각형 : 원을 이용)

 

- 3 -
[공준 1]에 따라, 점 F와 점 C를 연결하는 직선 FC를 그린다.

 

- 4 -
[명제 8]에 따라, △DCF, △ECF에 대해서, 
선분 DC=선분 EC,
선분 CF=공통,
선분 DF=선분 EF
이므로 △DCF ≡ △ECF이다. (SSS 합동)
이에 따라 ∠DCF = ∠ECF이다.

△DCF

△DCF ≡ △ECF

△ECF

 

- 5 -
따라서 [정의 10]에 따라,
직선 AB 위에 세워진 직선 CF의 이웃한 두 각(∠DCF,∠ECF)이 같으므로
두 각 모두 직각이다.

 

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주관적 핵심
(주관적으로 느낀 숨겨진 핵심)

- 1 -
[명제 11] 역시 주어진 직선에 수직인 직선을 그리기 위해서는
직선 각(180도)를 이등분을 해야 했다.

이등분을 유도하기 위해 합동과 대칭성이 이용하였고,
합동과 대칭성을 유도하기 위해 정삼각형을 이용하였고,
정삼각형을 유도하기 위해 원을 이용했다.
그리고
원을 유도하기 위해 정의를 이용했다.

- 2 -
[명제 11] 증명하는 데 있어서
처음에 직선 AB위에 점 C로부터 같은 거리에 있는 D, E를 구하는 데 있어서
[명제 3]을 사용하는 것보다 [정의 15] 즉, 원을 사용하는 것이 
더 효율적이지 않을까 생각한다.

직선 AB위에 있는 점 C를 중심으로 간격은 자유롭게 하여 원을 구성하고
해당 원과 직선 AB가 만나는 두 교점을 D와 E로 정하는 것이다.
그러면 원의 중심인 C로부터 반지름의 길이는 반드시 같으므로
선분 CD와 선분 CE는 반지름이기 때문에 같을 수밖에 없다.

[정의 15], 원만 사용한다는 것과,
간격은 크게 상관없다는 것에서
[명제 3]을 사용하는 것보다 더 간단한 방법이라 생각한다.

 

이번 글은 요기서 마치며, 다음 주제는 이어서 1권 명제 12에 대해 탐구할 것 같다.

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※ 해당 게시글은 주제를 탐구하면서 주관적인 생각을 정리 한 글입니다.