[수학][17] 유클리드 기하학 <원론> 1권 - 14 (명제 13)

※ 해당 게시글은 주제를 탐구하면서 주관적인 생각을 정리 한 글입니다.

---

이전 글을 통해서 유클리드 기하학 <원론> 1권 48개의 명제 중

명제 12에 대해 알아보았다.

이어서 명제 13에 대해 알아보겠다.

[수학][16] 유클리드 기하학 <원론> 1권 - 13 (명제 12)

따라서 이번글의 주제는

< 유클리드 기하학 <원론> 제1권 명제 13 >

---

주어진 직선 위의 한 점, 을 포함한 세워진 직선을 만들 때,
두 직선으로 인해 생성되는 각은,
각각 직각이어서 합이 180도 이거나,
두 각이 직각이 아니어도 두 각의 합은 두 직각의 합과 같다.

사용되는 정의

• [정의 10] : 한 직선(AB) 위에 다른 직선(BC)이 세워져 있을 때, 두 이웃한 각(∠ACD,∠DCB)가 같다면, 그 각들을 서로 직각(90)라고 부른다. 그리고 세워진 직선은 원래 직선의 수직이라 한다.

사용되는 공리

• [공리 1] : A=B, B=C 이면 A=C이다.
• [공리 2] : A=B 이면, A+C = B+C이다.

사용되는 명제

• [명제 11] : 주어진 직선 위에 한 점으로부터 주어진 직선과 직각(수직)으로 직선을 그리기

 

[명제 13]
주어진 직선 위의 한 점, 을 포함한 세워진 직선을 만들 때,
두 직선으로 인해 생성되는 각은,
각각 직각이어서 합이 180도 이거나,
두 각이 직각이 아니어도 두 각의 합은 두 직각의 합과 같다.
※ 증명에 사용된 그림은 알지오매스 사이트를 통해  제작하였습니다.

- 0 -
주어진 직선을 CD라 하고, CD위의 점을 B라고 하자.
그리고 점 B를 포함하고, CD위에 세워진 직선을 AB라고 하자.

 
- 1 -
만약 ∠CBA = ∠ABD 이면
[정의 10]에 따라 두 각은 직각이다.

 

- 2 -
만약 ∠CBA ≠ ∠ABD 이면
[명제 11]에 따라 직선 CD위의 점 B로부터 직선 CD와 직각인 수직선 BE를 그린다.
따라서 ∠CBE=∠EBD는 각각 직각이며 합은 180도이다.

 
- 3 -
[공리 2]에 따라∠CBE = ∠CBA+∠ABE 이므로,
∠CBE+∠EBD = (∠CBA+∠ABE) + ∠EBD = 180도

 
- 4 -
[공리 2]에 따라 ∠DBA = ∠DBE+∠EBA 이므로,
∠DBA+∠ABC = (∠DBE+∠EBA)+∠ABC이다.
이때,
앞선 (3)에 따라 ∠EBA+∠ABC = ∠CBE = 90도 이므로
∠DBA+∠ABC = 180도이다.

 

- 5 -
따라서 [공리 1]에 따라, ∠CBE + ∠EBD = ∠DBA + ∠ABC이다.
이때 ∠CBE,∠EBD는 직각인데,
직각이 아닌 ∠DBA, ∠ABC 합이 두 직각의 합과 같음을 알 수 있다.

 

---

주관적 핵심
(주관적으로 느낀 핵심)

- 1 -
[명제 12]에 대해
평행하지 않은 서로 다른 두 개의 직선에 대해
한 방향에서 생성되는 두 개의 각의 합은 두 직각의 합과 같다.
라고 다시 생각해 보았고,
위와 같은 사실을 증명하기 위해
직각이 아닌 두 개의 각을 쪼개어
직각이 될 수 있음을 유도했다.
이때 쪼개는 과정과,
두 직각과, 직각이 아닌 두 각을 비교하기 위해
수직선이 필요했고,
수직선을 유도하기 위해,  [명제 11]을 이용했다.
그리고 [명제 11]은 원을 이용해 정삼각형을 생성,
정삼각형을 이용해, 대칭성과 합동을 생성,
그리고 대칭성과 합동을 이용해 수직선을 생성했다.
 
이번 글은 요기서 마치며, 다음 주제는 이어서 1권 명제 14에 대해 탐구할 것 같다.

---

※ 증명에 사용된 그림은 알지오매스 사이트를 통해  제작하였습니다.