[수학][19] 유클리드 기하학 <원론> 1권 - 16 (명제 15)

※ 해당 게시글은 주제를 탐구하면서 주관적인 생각을 정리 한 글입니다.

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이전 글을 통해서 유클리드 기하학 <원론> 1권 48개의 명제 중

명제 14에 대해 알아보았다.

이어서 명제 15에 대해 알아보겠다.

[수학][18] 유클리드 기하학 <원론> 1권 - 15 (명제 14)

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따라서 이번글의 주제는

< 유클리드 기하학 <원론> 제1권 명제 15 >

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두 직선이 교차할 때 생성되는 맞꼭지각들은 서로 같다.

 

사용되는 공리

• [공리 1] : A=B, B=C 이면 A=C이다.
• [공리 3] : A=B 이면, A-C = B-C이다.

사용되는 명제

• [명제 13] : 주어진 직선 위의 한 점, 을 포함한 세워진 직선을 만들 때, 두 직선으로 인해 생성되는 각은, 각각 직각이어서 합이 180도 이거나, 각각 직각이 아니어도 두 각의 합은 두 직각의 합과 같다.

 

[명제 15]
두 직선이 교차할 때 생성되는 맞꼭지각들은 서로 같다.
※ 증명에 사용된 그림은 알지오매스 사이트를 통해  제작하였습니다.

 

- 0 -
서로 다른 두 직선 AB와 CD가 한 점 E에서 교차한다고 하자.

 

- 1 -
[명제 13]에 따라, 직선 CD위에 직선 AB가 서서 ∠AEC와 ∠AED를 형성하였기에,
∠AEC+∠AED = 두 직각의 합(180도)과 같다.

 

- 2 -
[명제 13]에 따라, 직선 AB위에 직선 CD가 서서 ∠CEA와 ∠CEB를 형성하였기에,
∠CEA+∠CEB = 두 직각의 합(180도)과 같다.

 

- 3 -
[공리 1]에 따라 ∠AEC+∠AED = ∠CEA+∠CEB = 두 직각의 합(180도)이 성립한다.

 

- 4 -
[공리 3]에 따라 ∠AEC + ∠AED = ∠CEA + ∠CEB의 식에서 양변에 ∠AEC를 뺀다.
그 결과 ∠AED = ∠CEB이다.

 

- 5 -
[공리 3]에 따라 남은 ∠AEC, ∠DEB도 같게 된다. (∠AEC = ∠DEB)

따라서 서로 다른 두 직선이 한 점에서 교차할 때 형성되는 맞꼭지각들은 서로 같다.

 

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주관적 핵심
(주관적으로 느낀 핵심)

- 1 -
[명제 15]는 한눈에 보면 맞꼭지각이 같다는 대칭성을 가지고 있다.
앞선 명제들에서 대칭성이라는 성질을 유도하기 위해서는
합동이나, 정삼각형을 주로 사용했다.

하지만 이번 명제는 합동이나, 정삼각형을 사용하지 않았다.

[공리 1]을 통해 등식을 만들고,
[공리 3]을 통해 등식에서 같은 것을 빼낼 때,
나머지도 같다는 규칙을 통해 맞꼭지각이 같다는 것을 증명했다.

이에 대해서 주관적 핵심은
대칭성을 더 크게 보면 무언가 '같다'라는 성질에 포함되어 있고,
같다는 것을 증명하기 위해 합동이나, 정삼각형을 이용할 수 있지만,

[공리 1], [공리 2], [공리 3]을 통해,
등식을 형성하고 해당 등식에서 같은 값을 빼거나, 더함으로써
나머지 또는 추가영역이 ‘같다’는 것을
증명할 수도 있다는 것이다.

이에 따라서, 대칭성 또는 같다라는 성질에 대해서
합동, 정삼각형 그리고,
등식 형성과 등식에서 양변에 동일한 값을 파악하는 것도 중요한 것 같다.

 

이번 글은 요기서 마치며, 다음 주제는 이어서 1권 명제 16에 대해 탐구할 것 같다.

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※ 해당 게시글은 주제를 탐구하면서 주관적인 생각을 정리 한 글입니다.