[수학][20] 유클리드 기하학 <원론> 1권 - 17 (명제 16)

※ 해당 게시글은 주제를 탐구하면서 주관적인 생각을 정리 한 글입니다.

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이전 글을 통해서 유클리드 기하학 <원론> 1권 48개의 명제 중

명제 15에 대해 알아보았다.

이어서 명제 16에 대해 알아보겠다.

[수학][19] 유클리드 기하학 <원론> 1권 - 16 (명제 15)

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따라서 이번글의 주제는

< 유클리드 기하학 <원론> 제1권 명제 16 >

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삼각형의 한 변을 연장하면서 생성되는 외각의 크기는,
반대쪽 내각들의 각각의 크기보다 크다.

 

사용되는 공준

• [공준 1] : 두 점이 주어지면 두 점을 연결하는 직선을 그을 수 있다는 규칙
• [공준 2] : 이미 주어진 종료된 선(선분)에 대해서 직선으로 연장할 수 있다는 규칙
• [공준 3] : 하나의 점(A)과 해당 점을 끝점으로 하는 간격(r)이 주어지면 해당 점(A)을 중심으로 하고, 일정한 간격(r)에 있는 점들로 원을 그릴 수 있다는 규칙

사용되는 명제

• [명제 3] : 길이가 같지 않은 주어진 두 종료된 직선(선분)에 대하여 길이가 긴 선분에서 짧은 선분과 같은 길이만큼 빼기
• [명제 4] : 두 개의 삼각형이 존재할 때, 대응되는 두 변의 길이가 같고 그 사잇각의 크기가 같으면, 나머지 한 변과, 두 각도 모두 같아지게 되면서, 두 삼각형은 합동이 된다. [SAS합동]
• [명제 10] : 종료된 직선(선분) 이등분하기
• [명제 15] : 두 직선이 교차할 때 생성되는 맞꼭지각들을 서로 같다.

 

[명제 16]
삼각형의 한 변을 연장하면서 생성되는 외각의 크기는,
반대쪽 내각들의 각각의 크기보다 크다.
※ 증명에 사용된 그림은 알지오매스 사이트를 통해  제작하였습니다.

 

- 0 -
주어진 삼각형 ABC에 대해서,
한 변 BC를 점 C 방향으로 연장하여 그 위의 한 점을 D라 하자.

 

- 1 -
[명제 10]에 따라 변 AC를 이등분하는 점 E를 구한다.

 

- 2 -
[공준 1]에 따라 점 B와 E를 연결하는 직선 BE를 그린다.

 

- 3 -
[명제 3]에 따라 선분 BE와 같은 길이를 가진 선분 EF를 직선 BE위에 그린다.

<주관적인 다른 방법 사용>
선분 BE와 선분 EF 모두 점 E를 포함하고, 같은 직선 위에 있기 때문에,
[명제 3]이 아닌, [공준 3]에 따라 점 E를 원의 중심으로 하고,
간격을 선분 BE로 하는 원을 그려서 직선 BE와 원의 교점을 점 F로 지정하여,
선분 EF를 구하는 방법도
특정 조건에서 같은 길이의 선분을 구하는 하나의 방법이 될 수 있겠다는 생각이 듦

 

- 4 -
[공준 1]에 따라 점 F와 점 C를 연결하는 선분 FC를 그린다.

 

- 5 -
[명제 4]에 따라 △ABE, △CFE에 대해서,
AE=CE,
BE=FE,
∠AEB=∠CEF,
([명제 15]에 따라 맞꼭지각이기 때문이다.)
따라서 △ABE ≡ △CFE이다. (SAS 합동)

 

- 6 -
그러므로, ∠EAB = ∠ECF이다.
그런데
∠ECF < ∠ACD 이므로,
BC를 연장해서 생긴 외각 ∠ ACD는 반대쪽 내각 ∠EAB보다 크다.
( ∠ ACD > ∠EAB )

 

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이어서 위와 같은 방식으로,
[공준 2]에 따라 변 AC를 점 C 방향으로 연장하여 그 위의 한 점을 G라 하자.

 

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그리고 변 BC를 이등분하는 점 H를 구하여,
위의 방식대로 진행하면 나머지 반대쪽 내각인
∠ABC 보다 ∠BCG(=∠ACD)가 더 크다는 사실을 알 수 있다.
( ∠ABC < ∠BCG=∠ACD  )

 

따라서
삼각형의 한 변을 연장하면서 생성되는 외각의 크기는,
반대쪽 내각들의 각각의 크기보다 크다.

 

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주관적 핵심
(주관적으로 느낀 핵심)

- 1 -
이번 [명제 16]을 통해서
여러 명제들을 관통할 수 있는 핵심을 찾게 되었다.

물론 논리적이지 않을 수 있으나, 
[명제 16]을 포함한 이전 명제들에 대해서
A에 대해 B가
같다. 크다. 작다. 
를 증명하는 데 있어서

A와 B의 공통적인 부분,
A와 B를 나란히 놓을 있는 부분,
그러한 부분을 유도함으로써
궁극적으로
명백하고, 분명하게 비교할 수 있는 상황을 유도하는 것이
관통적인 핵심이라 생각한다.

그리고 그러한 상황을 유도하기 위해
원, 정삼각형, 합동 등 여러 가지 수단을 활용하는 것 같다.

 

이번 글은 요기서 마치며, 다음 주제는 이어서 1권 명제 17에 대해 탐구할 것 같다.

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※ 해당 게시글은 주제를 탐구하면서 주관적인 생각을 정리 한 글입니다.