[수학][21] 유클리드 기하학 <원론> 1권 - 18 (명제 17)

※ 해당 게시글은 주제를 탐구하면서 주관적인 생각을 정리 한 글입니다.

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이전 글을 통해서 유클리드 기하학 <원론> 1권 48개의 명제 중

명제 16에 대해 알아보았다.

이어서 명제 17에 대해 알아보겠다.

[수학][20] 유클리드 기하학 <원론> 1권 - 17 (명제 16)

따라서 이번글의 주제는

< 유클리드 기하학 <원론> 제1권 명제 17 >

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삼각형에 대하여, 아무 두 내각의 합은 두 직각의 합(180°) 보다 작다.

 

사용되는 공리

• [공리 2] : A=B 이면, A+C = B+C이다.

사용되는 명제

• [명제 16] : 삼각형의 한 변을 연장하면서 생성되는 외각의 크기는, 반대쪽 내각들의 각각의 크기보다 크다.

 

[명제 17]
삼각형에 대하여, 아무 두 내각의 합은 두 직각의 합(180°) 보다 작다.
※ 증명에 사용된 그림은 알지오매스 사이트를 통해  제작하였습니다.

 

- 0 -
주어진 삼각형 ABC에 대해서,
한 변 BC를 점 C 방향으로 연장하여 그 위의 한 점을 D라 하자.

< 주관적 부분 핵심 >
내각의 두 합과 두 직각의 합을 비교하기 위해,
두 내각의 합을 두 직각의 합과 나란히 놓을 수 있는 상황을 유도해야 한다.
따라서 그러한 상황을 유도하기 위해,
한 변을 한 방향으로 연장하여 두 직각의 합(∠ACB+∠ACD)을 구성한다.

- 1 -
[명제 16]에 따라 ∠ACD는 삼각형 ABC에 대해서 외각이므로,
내각 ∠ABC 보다 크다. ( ∠ABC < ∠ACD)

< 주관적 부분 핵심 >
내각의 두 합과 두 직각의 합을 비교하기 위해,
두 내각을 두 직각과 나란히 놓을 수 있는 상황을 유도해야 한다.
따라서 [명제 16]을 통해서 두 내각의 일부분이 될 수 있는 내각(∠ABC)이
두 직각의 합의 일부분인 외각(∠ACD)의 일부분이 ∠ABC임을 유도해 내어,
명백하고 분명히 비교한다.

 

- 2 -
[공리 2]에 따라 ∠ABC < ∠ACD의 각 항에 ∠ACB를 더한다.
그러면
“ ∠ABC + ∠ACB < ∠ACD + ∠ACB(= 두 직각의 합(180 °) - [명제 13]에 따른다 -) “
성립한다.
이때 삼각형 ABC에 대해서 ∠ABC, ∠ACB 모두 내각이다.
따라서 두 내각의 합 ∠ABC + ∠ACB 는 두 직각의 합(180°) 보다 작다.

< 주관적 부분 핵심 >
내각의 두 합과 두 직각의 합을 비교하기 위해,
두 내각을 두 직각과 나란히 놓을 수 있는 상황을 유도해야 한다.
따라서
[명제 16]을 통해서 두 내각의 일부분이 될 수 있는 내각(∠ABC)이
두 직각의 합의 일부분인 외각(∠ACD)의 일부분임을 유도해 내어,
명백하고 분명히 비교한다.

- 3 -
위와 같은 방법으로 주어진 삼각형 ABC에 대해서,
한 변 AB를 점 B 방향으로 연장하고,
또,
한 변 CA를 점 A 방향으로 연장하여,
두 내각의 합이 두 직각의 합(180 °) 보다 작다는 것을 확인할 수 있다.

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< 주관적 핵심>
(주관적으로 느낀 핵심)

- 1 -
주관적으로 느낀 핵심은 
중간중간에 < 주관적 부분 핵심 >의 종합과 같다.

[명제 17]에서는 각 과정마다 적용되는 핵심이 있기에 
부분적으로 주관적으로 느낀 핵심을 적었다.

이를 종합해 보면

내각의 두 합과 두 직각의 합을 비교하기 위해,
두 내각의 합을 두 직각의 합과 나란히 놓을 수 있는 상황을 유도해야 한다.
따라서 그러한 상황을 유도하기 위해,
한 변을 한 방향으로 연장하여 두 직각의 합(∠ACB+∠ACD)을 구성한다.

[명제 16]을 통해서 두 내각의 일부분이 될 수 있는 내각(∠ABC)이
두 직각의 합의 일부분인 외각(∠ACD)의 일부분이 ∠ABC임을 유도해 내어,
명백하고 분명히 비교한다.

[명제 16]을 통해서 두 내각의 일부분이 될 수 있는 내각(∠ABC)이
두 직각의 합의 일부분인 외각(∠ACD)의 일부분임을 유도해 내어,
명백하고 분명히 비교한다.

위와 같은 결과를 얻을 수 있다.
그러나 위의 글은 과정이 없으면 이해할 수 없으며 가독성이 떨어진다.

그래서
여러 명제에 관통시키는 글로 변경하면 아래와 같다.

(0)
주어진 명제에 대해서 A와 B를 비교하는 명제 인지 파악한다.
(같다 or 크다 or 작다)

(1)
A와 B를 나란히 겹쳐 놓을 수 있는 상황을 유도하여
명백하고 분명히 비교할 수 있도록 한다.

(2)
그러한 과정에서
맞꼭지각, 합동, 정삼각형, 원 등의
명제와 정의를 활용하여,
A와 B에 대해서 등식을 만들거나 - [공리 1] -
A와 B에 대해서 동일한 부분을 더하거나 - [공리 2] -
A와 B에 대해서 동일한 부분을 빼거나 - [공리 3] -
등의 공리를 이용한다.

즉, 정의, 공리, 공준, 명제 모든 수단을 사용하여 
명백하고 분명히 비교할 수 있는 상황을 유도한다.

 

이번 글은 요기서 마치며, 다음 주제는 이어서 1권 명제 18에 대해 탐구할 것 같다.

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※ 해당 게시글은 주제를 탐구하면서 주관적인 생각을 정리 한 글입니다.