[수학][23] 유클리드 기하학 <원론> 1권 - 20 (명제 19)

※ 해당 게시글은 주제를 탐구하면서 주관적인 생각을 정리 한 글입니다.

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이전 글을 통해서 유클리드 기하학 <원론> 1권 48개의 명제 중

명제 18에 대해 알아보았다.

이어서 명제 19에 대해 알아보겠다.

[수학][22] 유클리드 기하학 <원론> 1권 - 19 (명제 18)

따라서 이번 글의 주제는

< 유클리드 기하학 <원론> 제1권 명제 19 >

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모든 삼각형에 대해서, 각이 더 큰 각일수록 마주 보는 대변의 길이도 더 길다.

 

사용되는 명제

• [명제 5] : 이등변 삼각형은 두 밑각의 크기는 같고, 같은 두 변에 해당되는 직선이 연장하였을 때 밑각 아래에 있는 각들도 서로 같다.
• [명제 18] : 모든 삼각형에 대해서, 길이가 긴 변일수록 마주 보는 대각의 크기도 크다.

 

[명제 19]
모든 삼각형에 대해서, 각이 더 큰 각일수록 마주 보는 대변의 길이도 더 길다.
※ 증명에 사용된 그림은 알지오매스 사이트를 통해  제작하였습니다.

 

- 0 -
주어진 삼각형 △ABC에 대해서, ∠ACB < ∠ABC라고 하자.

 

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∠ACB의 대변 AB와 ∠ABC의 대변 AC에 대해서, AB와 AC는 같지 않다.
왜냐하면 만약 AB = AC일 경우,
[명제 5]에 따라 △ABC는 이등변삼각형이므로
∠ACB = ∠ABC이어야 하기 때문이다.
이는 제시된 가정(∠ACB < ∠ABC)에 모순된다.

 

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∠ACB의 대변 AB와 ∠ABC의 대변 AC에 대해서, AC는 AB 보다 작지 않다.
왜냐하면 만약 AC < AB 일경우,
[명제 18]에 따라 긴 변의 대각이 더 커야 하므로
∠ABC < ∠ACB 이어야 하기 때문이다.
이는 제시된 가정(∠ACB < ∠ABC)에 모순된다.

 

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따라서 ∠ACB의 대변 AB와 ∠ABC의 대변 AC에 대해서, 
AB ≠ AC, AB < AC 부등식이 성립한다.

그러므로,
모든 삼각형에 대해서, 각이 더 큰 각일수록 마주 보는 대변의 길이도 더 길다.

 

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주관적 핵심
(주관적으로 느낀 핵심)

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[명제 19]는 [명제 18]과 매우 비슷한데,
증명 과정은 [명제 19]가 더 간단해 보인다.

그 이유는 이미 증명된 [명제 18]을 이용함으로써
다른 상황의 경우에는 모순이 발생한다는 것을 보다 간단하게
증명할 수 있었기 때문이다.

따라서
만약 [명제 18]보다 [명제 19]를 먼저 증명했다면,
더 큰 각이 더 긴 대변의 길이를 가진다는 것 역시,
크기/길이를 비교하는 것이기에,
같은 선상에 놓고 분명하고, 명백히 비교할 수 있도록 유도했을 것이다.

또 그렇게 하기 위해서,
정의와 공리, 공준 그리고 그것들로 이미 증명된 명제들,
정삼각형, 선분을 이등분하는 점, 합동 등을 사용했을 것이다.

다시 말해
주관적인 핵심은 무언가 크기나 길이 등을 비교하는 명제가 있다면,
그 비교 대상들을 같은 선상에 놓아 분명하고, 명백히 비교할 수 있도록,
정의, 공리, 공준 그리고 증명된 명제를 통해 유도함으로써
증명한다는 것이 주관적인 핵심이다.

 

이번 글은 요기서 마치며, 다음 주제는 이어서 1권 명제 20에 대해 탐구할 것 같다.

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※ 해당 게시글은 주제를 탐구하면서 주관적인 생각을 정리 한 글입니다.