[수학][24] 유클리드 기하학 <원론> 1권 - 21 (명제 20)

※ 해당 게시글은 주제를 탐구하면서 주관적인 생각을 정리 한 글입니다.

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이전 글을 통해서 유클리드 기하학 <원론> 1권 48개의 명제 중

명제 19에 대해 알아보았다.

이어서 명제 20에 대해 알아보겠다.

[수학][23] 유클리드 기하학 <원론> 1권 - 20 (명제 19)

따라서 이번 글의 주제는

< 유클리드 기하학 <원론> 제1권 명제 20 >

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모든 삼각형에 대해서,
두 변의 길이의 합은 나머지 한 변의 길이보다 더 크다.

 

사용되는 공준

• [공준 1] : 두 점이 주어지면 두 점을 연결하는 직선을 그을 수 있다는 규칙
• [공준 2] : 이미 주어진 종료된 선(선분)에 대해서 직선으로 연장할 수 있다는 규칙
• [공준 3] : 임의의 한 점(A)과 임의의 간격(r)이 주어지면 해당 점(A)을 중심으로 하고, 일정한 간격(r)에 있는 점들로 원을 그릴 수 있다는 규칙

사용되는 명제

• [명제 3] : 길이가 같지 않은 주어진 두 종료된 직선(선분)에 대하여 길이가 긴 선분에서 짧은 선분과 같은 길이만큼 잘라내기
• [명제 5] : 이등변 삼각형은 두 밑각의 크기는 같고, 같은 두 변에 해당되는 직선이 연장하였을 때 밑각 아래에 있는 각들도 서로 같다.
• [명제 19] : 모든 삼각형에 대해서, 각이 더 큰 각일수록 마주 보는 대변의 길이도 더 길다.

 

[명제 20]
모든 삼각형에 대해서,
두 변의 길이의 합은 나머지 한 변의 길이보다 더 크다.
※ 증명에 사용된 그림은 알지오매스 사이트를 통해  제작하였습니다.

- 0 -
주어진 삼각형을 △ABC라고 하자.

 

- 1 -
[공준 2]에 따라 종료된 직선 AB를 A방향으로 연장하고,
그 위의 한 점을 D라고 할 때,
점 D는 [명제 3]에 따라 선분 CA와 같은 길이를 가진 선분 AD의 끝점 D라고 하자.
( CA = AD )

< 주관적 부분 핵심 >
이전 명제들에서도 언급하였듯이,
선분을 복제하려는 과정에 대해서 [명제 3] 대신에 [공준 3]
즉, 원을 사용하는 경우가 더 편리하다고 느껴질 때가 있다.

복제하려는 선분, 복제된 선분 모두 공통적으로
어느 한 점을 끝점으로 하는 선분들일 경우,

[공준 3]에 따라 해당 공통 끝점을 중심으로 하고,
간격은 복제하려는 선분의 길이로 하여 원을 생성하면,
원의 반지름은 모두 복제하려는 선분의 길이와 같으므로,
원의 중심을 끝점으로 하는 수많은 복제 선분을 사용할 수 있다.

- 2 -
[공준 1]에 따라 점 D와 C를 연결하는 종료된 직선 DC를 그린다.

 

- 3 -
[명제 5]에 따라 AD = CA이므로, ∠ADC = ∠ACD이다.

 

- 4 -
따라서 ∠ACD는 ∠BCD의 일부분이므로,
∠ADC(=∠ACD) < ∠BCD 부등식이 성립한다.

 

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[명제 19]에 따라, △DBC에 대해서
앞서서 ∠BDC(=∠ADC) < ∠BCD 부등식이 성립함에 따라,
∠BDC의 대변 BC 보다 ∠BCD의 대변 BD가 더 크다.
( BC < BD )

 

- 6 -
그런데,
BD = BA + AD이며, AD = CA이므로, BD = BA + CA라 할 수 있다.
따라서 BC < BD에 대해서, BC < BA + CA가 성립한다.
따라서 △ABC에 대해서,
두 변 AB, CA의 길이의 합이 나머지 한 변 BC의 길이보다 크다

 

- 7 -
따라서 위의 방식대로,
AB+BC > AC
BC+CA > AB
또한 각각 성립할 수 있다.

그러므로 모든 삼각형에 대해서,
두 변의 길이의 합은 나머지 한 변의 길이보다 더 크다.

 

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주관적 핵심
(주관적으로 느낀 핵심)

- 1 -
[명제 20]도 길이, 크기 등을 비교하는 명제이므로
그 비교 대상들을 같은 선상에 놓아 분명하고 명백히 비교할 수 있도록
유도해야 한다는 것이 핵심이라 생각한다.

- 2 -
그런데, 각도의 경우
기하학적 그림으로 같은 선상에 놓아 직관적으로 확인할 수 있지만,
길이의 비교의 경우
같은 선에 놓으면 겹쳐지기 때문에 정확히 구분할 수 없기 때문인지,
길이를 비교할 때는
주로 비교하려는 대상들이 포함된 등식 또는 부등식 등
하나의 식을 통해 같은 선상에 놓는다.

그리고, 비교 대상이 포함된 등식 또는 부등식 등이
결국 명제의 증명과 같기 때문에
논리적인 과정을 통해서 생성되어야 한다.

그렇기에
반드시 참인 정의, 공리, 공준 그리고 이미 증명된 명제를 통해서
등식 또는 부등식을 생성하여 해당 식이 참일 수밖에 없도록 한다.

[명제 20]에서는 비교 대상들이 포함된 부등식을 유도하기 위해
주어진 삼각형에 대해서 한 변을 연장하여,
새로운 이등변 삼각형을 만들고,
이등변 삼각형의 성질을 이끌어냈다.

그리고 그러한 성질을 이용해
주어진 삼각형과 생성되는 이등변 삼각형 그리고 전체 삼각형에 대한
관계를 하나의 부등식으로 표현함으로써
비교 대상들을 같은 선상에 두었고,
이러한 과정이 주관적으로 핵심이라 생각한다.

 

이번 글은 요기서 마치며, 다음 주제는 이어서 1권 명제 21에 대해 탐구할 것 같다.

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※ 해당 게시글은 주제를 탐구하면서 주관적인 생각을 정리 한 글입니다.