[수학][18] 유클리드 기하학 <원론> 1권 - 15 (명제 14)

※ 해당 게시글은 주제를 탐구하면서 주관적인 생각을 정리 한 글입니다.

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이전 글을 통해서 유클리드 기하학 <원론> 1권 48개의 명제 중

명제 13에 대해 알아보았다.

이어서 명제 14에 대해 알아보겠다.

[수학][17] 유클리드 기하학 <원론> 1권 - 14 (명제 13)

따라서 이번글의 주제는

< 유클리드 기하학 <원론> 제1권 명제 14 >

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주어진 직선 위의 한 점에서 서로 다른 두 직선을 그릴 때,
두 직선의 이웃 각들의 합이 두 직각의 합(180도)이 되면,
서로 다른 두 직선은 하나의 직선상에 있다.

 

사용되는 공리

• [공리 1] : A=B, B=C 이면 A=C이다.
• [공리 3] : A=B 이면, A-C = B-C이다.
• [공리 5] : 전체는 전체의 일부보다 무조건 크다.

사용되는 공준

• [공준 4] : 모든 직각은 90도로 크기가 같다는 규칙

사용되는 명제

• [명제 13] : 주어진 직선 위의 한 점, 을 포함한 세워진 직선을 만들 때, 두 직선으로 인해 생성되는 각은, 각각 직각이어서 합이 180도 이거나, 각각 직각이 아니어도 두 각의 합은 두 직각의 합과 같다.

 

[명제 14]
주어진 직선 위의 한 점에서 서로 다른 두 직선을 그릴 때,
두 직선의 이웃 각들의 합이 두 직각의 합(180도)이 되면,
서로 다른 두 직선은 하나의 직선상에 있다.
※ 증명에 사용된 그림은 알지오매스 사이트를 통해  제작하였습니다.

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주어진 직선 AB 위의 한 점 B에서 서로 다른 두 직선 BC와 BD를 그린다.
이때 BC와 BD가 이웃하는 각 들(∠ABC, ∠ABD)의 합이 두 직각의 합(180도) 면,
두 직선은 하나의 직선상에 있다.

 

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만약 직선 BC와 직선 BD가 이웃하는 각 들(∠ABC, ∠ABD)의
합이 두 직각의 합(180도) 임에도 하나의 직선상에 있지 않으며,
직선 BC와 다른 직선 BE가 하나의 직선 CBE 상에 있다고 가정하자.

 

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그렇다면 직선 AB는 직선 CBE 위에 세워져 있다고 볼 수 있고,
[명제 13]에 따라, 직선 AB에 이웃하는 두 각 ∠ABC,∠ABE의
합이 두 직각의 합(180도)과 같다.

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그런데 (1)에 따르면 ∠ABC + ∠ABD = 두 직각의 합이라고 하였기에,
[공리 1], [공준 4]에 따라, ∠ABC + ∠ABD = 180도 = ∠ABC+∠ABE이다.

 

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그렇다면, ∠ABC + ∠ABD = ∠ABC+∠ABE에서 [공리 3]에 따라,
각 항에 ∠ABC를 빼면 ∠ABD = ∠ABE이다.

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하지만 ∠ABD(∠ABE+∠EBD) > ∠ABE 이므로, 전체와 그 일부분이 같을 수 없다.
이는 [공리 5]에 모순이 되기 때문이다.

 

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따라서,
주어진 직선 AB 위의 한 점 B에 대해서 BC라는 직선이 주어졌을 때
오직 BD만이 이웃하는 각들의 합이 두 직각의 합과 같으면서,
하나의 직선상에 있을 수 있다.
(즉, 직선 BE를 포함한 다른 직선은 BC와 하나의 직선상에 있을 수 없다.)

 

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주관적 핵심
(주관적으로 느낀 핵심)

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주관적인 핵심은
만약 [명제 14]와 같이 주어진 명제에
유일성이 내포되는 경우,
그 유일성을 유도해 내는 과정이 핵심이라 생각한다.

따라서, 유일성을 유도하기 위해
임의로 유일한 상황을 제외한 다른 모든 상황일 때도
주어진 명제가 가능하다고 가정을 하고,
그것을 공리와 공준을 통해 모순임을 증명하는 것이 중요하다고 생각한다.

특히,
모순을 증명하는 과정에서 [공리 1]을 통해 등식을 추출하고,
[공리 2] 또는 [공리 3]을 통해 각 항에 동일한 값을 더하거나 빼내어,
[공리 5]를 통해 전체는 전체의 일부분 보다 무조건 크다는 것을 이용함으로써
모순을 증명하는 과정이 핵심이라 생각한다.

 

이번 글은 요기서 마치며, 다음 주제는 이어서 1권 명제 15에 대해 탐구할 것 같다.

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※ 증명에 사용된 그림은 알지오매스 사이트를 통해  제작하였습니다.