[수학][16] 유클리드 기하학 <원론> 1권 - 13 (명제 12)

※ 해당 게시글은 주제를 탐구하면서 주관적인 생각을 정리 한 글입니다.

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이전 글을 통해서 유클리드 기하학 <원론> 1권 48개의 명제 중

명제 11에 대해 알아보았다.

이어서 명제 12에 대해 알아보겠다.

[수학][15] 유클리드 기하학 <원론> 1권 - 12 (명제 11)

따라서 이번글의 주제는

< 유클리드 기하학 <원론> 제1권 명제 12>

 

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주어진 무한 직선과 그 직선 위에 있지 않은 임의의 한 점에서 무한 직선에
수직선 그리기

사용되는 정의

• [정의 10] : 한 직선(AB) 위에 다른 직선(BC)이 세워져 있을 때, 두 이웃한 각(∠ACD,∠DCB)가 같다면, 그 각들을 서로 직각(90)라고 부른다. 그리고 세워진 직선은 원래 직선의 수직이라 한다.

사용되는 공준

• [공준 1] : 두 점이 주어지면 두 점을 연결하는 직선을 그을 수 있다는 규칙
• [공준 3] : 하나의 점(A)과 해당 점을 끝점으로 하는 간격(r)이 주어지면 해당 점(A)을 중심으로 하고, 일정한 간격(r)에 있는 점들로 원을 그릴 수 있다는 규칙

사용되는 명제

• [명제 8] : 두 삼각형에 대해서 대응되는 세 변이 같으면. 두 삼각형은 합동이 되어 대응되는 각들도 모두 같다. (SSS 합동)
• [명제 10] : 종료된 직선(선분) 이등분하기

 

[명제 12]
주어진 무한 직선과 그 직선 위에 있지 않은 임의의 한 점에서 무한 직선에
수직선 그리기
※ 증명에 사용된 그림은 알지오매스 사이트를 통해  제작하였습니다.

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주어진 무한 직선을 AB, 그 직선 위에 있지 않은 임의의 한 점을 C라고 하자.

 

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그리고 직선 AB를 기준으로 C와 반대쪽에 있는 임의의 점을 D라고 하자.

 

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[공준 3]에 따라 점 C를 중심으로 하고, 선분 CD를 간격으로 하여 원(1)을 그린다.
이때 직선 AB와 원(1)이 만나는 두 교점을 E, F라고 하자.

 

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[명제 10]에 따라 선분 EF를 이등분하는 점 H를 구한다.

 

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[공준 1]에 따라, 선분 CE, 선분 CH, 선분 CF에 대해
해당되는 점들끼리 연결하여 선분을 그린다.

 

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[명제 8]에 따라 △CHE, △CHF에 대해서,
선분 HE=선분 HF,
선분 CH는 공통,
선분 CE=선분 CF
이므로
△CHE ≡ △CHF이다. (SSS 합동)

△CHE

△CHE ≡ △CHF

△CHF

 

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따라서 ∠CHE=∠CHF이며,
[정의 10]에 따라 직선 AB위에 세워져 있는 종료된 직선 CH이
서로 이웃한 두 각의 크기를 같게 할 때(∠CHE=∠CHF)
두 각 모두 (90도)직각이라 부르고  ,
직선 AB 위에 세워져 있는 종료된 직선 CH는 수직이라 부른다.

 

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주관적 핵심
(주관적으로 느낀 숨겨진 핵심)

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 수직선은 직선 각(180도)를 이등분하기 때문에
대칭성과 합동을 이용해야 했다.
그런데
이전 명제들과 다르게 정삼각형을 이용하지 않았음에도
원을 이용하여 합동을 유도할 수 있었다.
이에 대해 탐구한 결과

(1)
이미 직선 AB 밖에 다른 임의의 점 C가 주어졌고 그 점을 이용해야 했기 때문이

(2) 
정삼각형이나 원을 그리는 핵심은,
양변이 같은 이등변 삼각형을 만드는 것인데,

직선 또는 직선과 그 직선 위의 한 점만 주어졌을 때
이등변 삼각형을 만들기 위해서는 정삼각형을 그려야 하고,

[명제 12]처럼 이미 직선 밖에 한 점이 있을 때
원만 그리면 이등변 삼각형을 만들 수 있기 때문에

(1), (2)를 통해서 합동 및 대칭성을 유도할 수 있다.

그렇다면 애초에 (1)인 상황에서도 증명을 시작할 때
임의의 점을 하나 지정하면 되는 것이 아닌가?

그렇게 해서 물론 증명할 수 있으나, 굳이 불필요한 가정이기 때문에
좀 더 효율적이고, 간단한 방법으로 증명 한 것으로 보인다.

 

이번 글은 요기서 마치며, 다음 주제는 이어서 1권 명제 13에 대해 탐구할 것 같다.

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※ 증명에 사용된 그림은 알지오매스 사이트를 통해  제작하였습니다.