[수학][11] 유클리드 기하학 <원론> 1권 - 8 (명제 7)

※ 해당 게시글은 주제를 탐구하면서 주관적인 생각을 정리 한 글입니다.

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이전 글을 통해서 유클리드 기하학 <원론> 1권 48개의 명제 중

명제 6에 대해 알아보았다.

이어서 명제 7에 대해 알아보겠다.

[수학][10] 유클리드 기하학 <원론> 1권 - 7 (명제 6)

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따라서 이번 글의 주제는

< 유클리드 기하학 <원론> 제1권 명제 7 >

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주어진 종료된 직선(선분)에 대해서,
해당 선분의 양끝 점을 각각 가지는 두 직선이,
동일한 방향에서 한 점에서 만나는 경우,

또 똑같이 해당 선분의 양 끝점을 가지며,
처음 두 직선과 같은 길이를 가진 두 직선을 그었을 때
다른 점에서 만날 수 없다.

 

사용되는 공리

• [공리 5] : 전체는 전체의 일부보다 무조건 크다.

사용되는 공준

• [공준 1] : 두 점이 주어지면 두 점을 연결하는 직선을 그을 수 있다는 규칙

사용되는 명제

• [명제 5] : 이등변 삼각형은 두 밑각의 크기는 같고, 같은 두 변에 해당되는 직선이 연장하였을 때 밑각 아래에 있는 각들도 서로 같다.

 

[명제 7]
주어진 종료된 직선(선분)에 대해서,
해당 선분의 양끝 점을 각각 가지는 두 직선이,
동일한 방향에서 한 점에서 만나는 경우,

또 똑같이 해당 선분의 양 끝점을 가지며,
처음 두 직선과 같은 길이를 가진 두 직선을 그었을 때
다른 점에서 만날 수 없다.
※증명에 사용된 그림은 알지오매스 사이트를 통해  제작하였습니다.

 

- 0 -
아래와 같이 가정한다.
주어진 종료된 직선(선분) : AB
A를 포함하는 직선과, B를 포함하는 직선의 교점 : C

A를 포함하고 AC와 같은 길이를 가진 직선과,
B를 포함하고 BC와 같은 길이를 가진 직선의 교점 : D
라고 하자. (따라서 AC=AD, BC=BD)

 

- 1 -
[공준 1]에 따라 점 C와 점 D를 연결하는 종료된 직선을 그린다.

 

- 2 -
[명제 5]에 따라 AC=AD 즉, 삼각형 ACD는 이등변 삼각형이므로
두 밑각의 크기는 같다. (∠ACD = ∠ADC)
※ ‘각’의 표현은 편의와 가독성을 위해 ‘∠’ 기호로 대체한다.

 

- 3 -
이때 [공리 5]에 따라 ∠DCB는 ∠ACD의 일부분이다. (∠DCB < ∠ACD)
근데 앞서서 ∠ACD = ∠ADC 임을 확인했기에
∠DCB < ∠ADC(=∠ACD)이다.

- 4 -
또, [공리 5]에 따라 ∠CDB의 일부분이 ∠ADC이므로 ∠ADC(=∠ACD) < ∠CDB이다.
따라서 앞선 등호와 연결하면,
∠DCB < ∠ADC(=∠ACD) < ∠CDB 가 된다.

 

- 5 -
다시 처음으로 돌아와, [명제 5]에 따라 CB=DB
즉, 삼각형 BCD는 이등변 삼각형 이므로 두 밑각의 크기는 같다.
(∠DCB = ∠CDB)

- 6 -
그런데 앞서서
(4)에 따르면 ∠DCB < ∠ADC(=∠ACD) < ∠CDB,
(5)에 따르면 ∠DCB = ∠CDB
즉, 모순이 발생한다.

 

따라서
주어진 종료된 직선(선분)에 대해서,
해당 선분의 양끝 점을 각각 가지는 두 직선이,
동일한 방향에서 한 점에서 만나는 경우,

또 똑같이 해당 선분의 양 끝점을 가지며,
처음 두 직선과 같은 길이를 가진 두 직선을 그었을 때
다른 점에서 만날 수 없다.

 

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주관적 핵심
(주관적으로 느낀 숨겨진 핵심)

- 1 -
명제 7은 '유일성' 그리고 '삼각형의 성질'을 확립하는 것 같았다.
명제 7의 유일성에 대해서,
어느 선분이 주어졌을 때 해당 선분의 양 끝점을 각각 포함하는
두 직선의 교점은 여러 개가 될 수 있지만, 
길이가 정해져 있다면 단 1개의 점만 유일하게 가진다.
(즉, 두 직선의 길이에 따라 단 1개씩의 교점을 가진다.)

 

- 2 -
'1'에서 말하였던 것처럼,
이전 명제들의 숨겨진 핵심을 정리하면,
어느 특정한 성질(유일성, 평행선의 성질, 삼각형의 성질 등)에
포함시킬 수 있을 것 같다.
따라서 이에 대해 이전 명제들을 다시 탐구하고,
앞으로의 명제들에 대해서 이를 고려해야 할 것 같다.

 

이번 글은 요기서 마치며, 다음 주제는 이어서 1권 명제 8에 대해 탐구할 것 같다.

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※ 해당 게시글은 주제를 탐구하면서 주관적인 생각을 정리 한 글입니다.