[수학][9] 유클리드 기하학 <원론> 1권 - 6 (명제 5)

※ 해당 게시글은 주제를 탐구하면서 주관적인 생각을 정리 한 글입니다.

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이전 글을 통해서 유클리드 기하학 <원론> 1권 48개의 명제 중

명제 4에 대해 알아보았다.

이어서 명제 5에 대해 알아보겠다.

[수학][8] 유클리드 기하학 <원론> 1권 - 5 (명제 4)

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따라서 이번글의 주제는

< 유클리드 기하학 <원론> 제1권 명제 5>

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이등변 삼각형은 두 밑각의 크기는 같다.
또, 같은 두 편에 해당되는 직선이 연장하였을 때
밑각 아래에 있는 각들도 서로 같다.

 

사용되는 공리

[공리 3] : A=B 이면, A-C = B-C이다.

사용되는 공준

[공준 1] : 두 점이 주어지면 두 점을 연결하는 직선을 그을 수 있다는 규칙

[공준 2] : 이미 주어진 종료된 선(선분)에 대해서 직선으로 연장할 수 있다는 규칙

사용되는 명제

[명제 4] : 두 개의 삼각형이 존재할 때, 대응되는 두 변의 길이가 같고 그 사잇각의 크기가 같으면, 나머지 한편과, 두 각도 모두 같아지게 되면서, 두 삼각형은 합동이 된다.

 

[명제 5]
이등변 삼각형은 두 밑각의 크기는 같다.
또, 같은 두 편에 해당되는 직선이 연장하였을 때
밑각 아래에 있는 각들도 서로 같다.
※증명에 사용된 그림은 알지오매스 사이트를 통해  제작하였습니다.

 

- 0 -
삼각형 ABC에 대해서, 변 AB=변 AC인 이등변 삼각형이 있다.

 

- 1 -
[공준 2]에 따라 두 변 AB, AC를 연장한다.
그리고
AB연장선 위에 한 점을 F,
AC연장선 위에 한 점을 G,
일 때 AF = AG이다.

 

- 2 -
[공준 1]에 따라 점 F와 점 C를 연결하는 직선과,
점 G와 점 B를 연결하는 직선을 그린다.

 

- 3 -
[명제 4]에 따라, 삼각형 AEC, 삼각형 AGB에 대해서
선분 AF=선분 AG, 각 FAC = 각 GAF, 선분 AB=선분 AC 이므로,
삼각형 AFC와 삼각형 AGB는 SAS 합동이다.
(△AFC ≡ △AGB )

삼각형AFC

삼각형AGB

그러므로 [명제 4]에 따라 남은 각들이 서로 같다. (∠AFC=∠AGB, ∠ACF=ABG)

 

- 4 -
[공리 3]에 따라 선분 AF=선분 AG, 그리고 그 부분인 변 AB=변 AG 이므로
나머지 부분인 선분BF=선분CG이다.

 

- 5 -
[명제 4]에 따라, 삼각형BFC, 삼각형 CGB에 대해서
△AFC ≡ △AGB을 통해
선분FC=변GB, 각 BFC=각 CGB, 선분 BF=선분 CG 이므로,
삼각형 BFC와 삼각형 CGB는 SAS 합동이다.
(△BFC ≡ △CGB )

삼각형BFC

삼각형CGB

그러므로 [명제 4]에 따라 남은 각들도 서로 같다. (∠FBC=∠GCB, ∠BCF=CBF)

 

- 6 -
[공리 3]에 따라 각 ABG = 각 ACG, 그리고 그 부분인 각 CBG = 각 BCF이므로
나머지 부분인 각ABC=각ACB이며 
해당 두 각은 삼각형ABC의 밑각이다.
(∠ABC=∠ACB)

 

- 7 -
따라서 이등변 삼각형 ABC의 밑각이 같으며, 밑각 아래에 있는 각들도 서로 같다.

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주관적 핵심
(주관적으로 느낀 숨겨진 핵심)

- 1 -
[명제 3]에서 느낀 숨겨진 핵심이었던
"어느 선분에 대하여 정확히 그 선분의 길이만큼 활용하고 싶을 때
특히, 원을 이용한다" 
라고 느꼇는데 이번 [명제 5]에서 비슷한 느낌을 받았다.
어느 각도에서 대해서 알고자 할 때 합동을 최대한 이용한다는 것이다.

극단적으로 해석하면
길이에 대한 문제는 원을 이용하고,
각에 대한 문제는 합동을 이용한다.

 

 이번 글은 요기서 마치며, 다음 주제는 이어서 1권 명제 6에 대해 탐구 할 것 같다.

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※ 해당 게시글은 주제를 탐구하면서 주관적인 생각을 정리 한 글입니다.