[수학][6] 유클리드 기하학 <원론> 1권 - 3 (명제 2)

※ 해당 게시글은 주제를 탐구하면서 주관적인 생각을 정리 한 글입니다.

---

이전 글을 통해서 유클리드 기하학 <원론> 1권의 48개의 명제 중 

명제 1에 대해 알아보았다.

이어서 명제 2에 대해 알아보겠다.

[수학][5] 유클리드 기하학 <원론> 1권 - 2 (명제 1)

---

따라서 이번글의 주제는

<유클리드 기하학 <원론> 제1권 명제 2>

---

주어진 종료된 직선(선분)과 같은 길이를 가지고
주어진 점을 끝점으로 하는 종료된 직선(선분) 그리기

사용되는 정의

• [1권 - 정의 15] : 원은 하나의 특이한 선으로 둘러싸인 평면 도형이다. 이 특이한 선은 원의 둘레라고 부르며, 원의 중심으로부터 원의 둘레까지 뻗는 모든 직선들은 반지름이며, 그 길이는 모두 같다.

사용되는 공리

• [공리 1] : A=B, B=C 이면 A=C이다.
• [공리 3] : A=B 이면, A-C = B-C이다.

사용되는 공준

• [공준 1] : 두 점이 주어지면 두 점을 연결하는 직선을 그을 수 있다는 규칙
• [공준 2] : 이미 주어진 종료된 선(선분)에 대해서 직선으로 연장할 수 있다는 규칙
• [공준 3] : 하나의 점(A)과 해당 점을 끝점으로 하는 간격(r)이 주어지면 해당 점(A)을 중심으로 하고, 일정한 간격(r)에 있는 점들로 원을 그릴 수 있다는 규칙

사용되는 명제

• [1권 - 명제 1] : 종료된 주어진 직선(선분) 위에 정삼각형 그리기

 

[명제 2]
주어진 종료된 직선(선분)과 같은 길이를 가지고
주어진 점을 끝점으로 하는 직선(선분) 그리기
※증명에 사용된 그림은 알지오매스 사이트를 통해  제작하였습니다.

 

- 0 -
주어진 점을 A, 주어진 종료된 직선을 BC라 부르자.

- 1 -
[공준 1]에 따라 점 A와 점 B를 연결하는 직선(AB)을 그린다.

 

- 2 -
[1권 - 명제 1]에 따라 선분 AB(종료된 직선) 위에 정삼각형 DAB을 그린다.

 

- 3 -
[공준 2]에 따라 직선 DA와, 직선 DB를 연장한다.

 

- 4 -
[공준 3]에 따라 점 B를 중심으로 하고, 선분 BC를 간격(r)으로 정해 원(1)을 그린다.
그리고 원(1)과 직선 DB의 연장선과 만나는 점을 E라고 하자.

 

- 5 -
[공준 3] 따라 점 D를 중심으로 하고, 선분 DE를 간격(r)으로 정해 원(2)을 그린다.
그리고 원(2)과 직선 DA의 연장선과 만나는 점을 F라고 하자.

 

- 6 -
[1권 - 정의 15]에 따라 점 B는 원(1)의 중심이므로 선분 BC=선분 BE이다.

 

- 7 -
[1권 - 정의 15]에 따라 점 D는 원(2)의 중심이므로 선분 DE=선분 DF이며,
각 선분의 일부분인 선분 DA, 선분 DB는 서로 같다. (선분 DA = 선분 DB)

- 8 -
[공리 3]에 따라 선분 DE, 선분 DF의 일부분(선분 DA, 선분 DB)을 제외한 부분인
선분 BE와 선분 AF가 같다. (선분 BE=선분 AF)

 

- 9 -
[공리 1]에 따라
선분 BE=선분 BC,
선분 BE=선분 AF
이므로
선분 BC=선분 AF이다.

 

- 10 -
따라서
주어진 종료된 직선(BC)과 같은 길이를 가지고 주어진 점(A)을 끝점으로 하는 종료된 직선은 선분 AF이다.

---

주관적 핵심
(주관적으로 느낀 숨겨진 핵심)

- 1 - 
명제를 증명하는 데 있어서 정의, 공리, 공준뿐만 아니라 증명된 명제를 활용한 것

- 2 -
특히
[1권 - 정의 15]에 따라 반지름은 무조건 같다는 성질과,
[명제 1]에 따라 정삼각형은 세 변의 길이가 같다는 성질을
유도하였다는 것이 중요하다고 생각함 (이끌어 냄)

- 3 -
유클리드는 주어진 선분의 길이와 완벽히 동일한 선분을 복제하고 싶어서
해당 명제를 생각하지 않았을까
더 나아가
이를 활용하여 더 복잡한 명제를 구성하기 위해서
해당 명제를 생각하지 않았을까
추측한다.

---

유도한다는 것에 대하여

이를 통해서 '유도' 하는 것에 대해서 좀 더 탐구할 필요가 있다고 느껴졌다.

이에 대해 빠르게 생각해 본 결과

(1) 무엇을 유도할 것인지 '유도 대상'을 파악한다.

(2) 해당 대상을 유도하기 위해 어떤 성질을 이용하는 게 좋을지
'유도 성질'을 파악한다.

이러한 결과가 나왔는데,

이에 대해 새로운 생각이 있으신 분,

언제든 공유해 주시면 감사하겠습니다.

 

이번 글은 요기서 마치며, 다음 주제는 이어서 1권 명제 3에 대해 탐구할 것 같다.

---

※ 해당 게시글은 주제를 탐구하면서 주관적인 생각을 정리 한 글입니다.