[수학][3] 기하학과 유클리드 기하학에 대해서

※ 해당 게시글은 주제를 탐구하면서 주관적인 생각을 정리 한 글입니다.

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이전 글을 통해서, 수학을 공부하는데 무엇을 공부해야 하는지 알아보았다.

그래서 수학의 시작이자 근본이라 할 수 있는 유클리드 기하학부터 시작하여

대수학, 정수론, 해석기하학, 지수와 로그의 발명,
미적분학, 복소수(2차원) 정립, 선형대수학, 3차원 복소수 등등

그리고 이전 학문이 다음 학문을 연결해준다는 것을 알게 되었다.

[수학] 수학, 그래서 무엇을 공부해야하나? 역사와 학문의 종류 탐구 - 1

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따라서, 역사적 흐름에 따라 기하학 그리고 유클리드 기하학에 대해 알아보고자 한다.

그래서 이번 글의 주제는

<기하학과 유클리드 기하학>

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기하학이란 무엇인가?

기하학( geometry)이란 라틴어 geo(토지)+metria(측량)에서 유래한 말로,
기원전 이집트에서 단어 그대로 토지의 넓이를 측량하기 위한 방법이었다.

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하지만 넓이만 측정하는 거면 너무 단순한 것이 아닌가?

이에 대해서 설명하면, 이집트로부터 기하학을 전수받은 그리스는
수학자, 철학자들의 깊은 탐구로 기하학을 발전시켰다.

탈레스
피타고라스
플라톤
아리스토텔레스
유클리드

이들을 통해서 기하학은 단순히 토지 넓이 측정뿐만 아니라, 
여러 도형에 대해 점, 선, 면, 각도 등 도형의 개념으로 정립하고 이를 활용해
삼각형, 사각형, 다각형 그리고 원의 성질 및 비율을 파악하고 
각 도형의 상호작용을 파악함으로써 1차원, 2차원을 이해하게 되었다.

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그러면 유클리드 기하학은 무엇인가?

유클리드는 탈레스~아리스토텔레스까지 발전한 기하학을
다시 살펴보고, 수정하면서, 엄밀한 체계를 구축하려고 했다.
엄밀한 체계의 명확한 정의는 각기 다르게 해석되는 것을 방지하고,
모든 사람이 해당 용어를 동일하게 인식할 수 있기 때문이었다.

따라서

유클리드는 총 13권의 <기하학 원론>을 작성하여
발전한 고대 그리스 기하학을 재정리하였고
이는 유클리드 기하학이라 불렸다.

 

 

따라서 다음은 <기하학 원론>의 1권을 탐구 할 것같다.

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(기하학 원론에 대해서 추가 정리)

 

유클리드의 <기하학 원론>은 총 13권이다.

평면기하 : 1~6권
수의이론 : 7~9권
무리수 이론 : 10권
입체기하 : 11~13권

그리고 각 권마다

정의와 공리, 공준 그리고 명제(정리)로

구성되어 있다.

정의 : 무엇인가 고유 속성 또는 고유 상호작용을 설명함으로써, 다른 것들과 구별하는 것
ex) 삼각형이란 3개의 변을 가진 도형이다.

공리 : 합의 결과 직관적으로 확인이 가능하여 증명이 필요 없이 항상 참인 명제
ex) 도형의 부분의 합은 전체와 같다.

공준 : 제한된 상황에서 증명이 필요없이 자명한 사실 
ex) "유클리드 기하학에서" 삼각형을 그릴 때 하나의 직선은 오직 2개의 점만 지난다.

명제(정리) : 증명이 필요한 명제로, 정의와 공리로 참임을 증명한 명제
ex) 삼각형의 내각의 합은 180도이다.

명제 : 참과 거짓으로 나뉘는 문장

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※ 해당 게시글은 주제를 탐구하면서 주관적인 생각을 정리 한 글입니다.