[수학][4] 유클리드 기하학 <원론> 1권 - 1 (정의,공리,공준,명제)

※ 해당 게시글은 주제를 탐구하면서 주관적인 생각을 정리 한 글입니다.

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이전 글을 통해서, 기하학과 유클리드 기하학이 무엇인지에 대해 알아보았다. 

간단하게 다시 살펴보면

기하학( geometry)이란 토지의 넓이를 측량하기 위한 방법이었다.

 유클리드 기하학이란 유클리드 이전의 학자들이 연구하고 발전시킨 기하학들을
재정리하고, 엄밀한 체계를 구축해하며 <기하학원론>을 작성하였으며,

그것이 유클리드 기하학이 되었다.

[수학][3] 기하학과 유클리드 기하학에 대해서

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따라서 수학의 근본이라 할 수 있는 유클리드 기하학 <원론>에 대해 알아보고자 한다.

하지만 유클리드 기하학 <원론>은 총 13권으로 구성되어 있다.

따라서 이번글의 주제는

<유클리드 기하학 <원론> 제1권 > 

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유클리드가 작성한 원론을 최대한 그대로 번역했다고 생각한 책을 참고하였다.

<유클리드 원론 (유클리드, 박병하 옮김>

기하학 원론 제1권에서는 무엇에 대한 내용인가?

1권~6권은 평면기하(평면 도형의 성질)에 대한 내용이다.
그중 1권에서의 구성내용은 아래와 같다.

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<유클리드 원론> 제1권

23개의 정의
5개의 공리
5개의 공준
48개의 명제

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23개의 정의

(대강 대상이 무엇인지 설명함으로써 다른 것들과 구별)

 

점

[ 정의 1 ]

점이란 길이,너비,높이 등 크기와 넓이가 없으며 더 작은 부분으로 나눌 수 없는 것 공간 또는 좌표평면에서 특정한 위치 자체를 나타낼 때 사용된다.

(추가적인 생각) : 너비란 길이 다음으로 긴 길이.

선	[ 정의 2 ]	선이란 점들이 연속적으로 연결되어 너비와 두께(폭) 없이 길이만 가지는 것.
	[ 정의 3 ]	선은 점들이 연속적으로 연결하여 생성되는 것이기에   선의 끝 역시 점이다.
	[ 정의 4 ]	직선은 모든 점들이 일직선 형태로 놓인 것

(추가적인 생각)
직선이란 끝점을 정하지 않는 것이고, 선분이란 끝점을 정한 것인가?

면	[ 정의 5 ]	표면이란 선들이 연속적으로 연결되어 길이와 너비만 가지는 것 (높이, 두께가 없다.)
	[ 정의 6 ]	표면은 선들이 연속적으로 연결하여 생성되므로, 면의 끝은 선이다.
	[ 정의 7 ]	평면은 직선들이 균등하게 일직선 형태로 배열된 것이다.

각	[ 정의 8 ]	각(평면각, 편평한 각)이란 평면에서 두 직선이 만나 일직선이 되지 않을 때, 그 두 직선이 이루는 기울기를 나타낸다.
	[ 정의 9 ]	직선 각(교각)이란 각을 생성하는 여러 선들이 만나 일직선을 이루었다면, 그로 인해 생성된 각을 직선각(180도)라고 부른다.
	[ 정의 10 ]	한 직선(AB)위에 다른 직선(BC)이 세워져 있을 때, 두 이웃한 각(∠ACD,∠DCB)가 같다면, 그 각들을 서로 직각(90도)라고 부른다. 그리고 세워진 직선은 원래 직선의 수직이라 한다.
	[ 정의 11 ]	둔각이란 직각(90도) 보다 큰 각이다.
	[ 정의 12 ]	예각이란 직각(90도) 보다 작은 각이다.

 

도형	[ 정의 13 ]	경계란 어떤 것이 끝 부분으로, 점, 선, 면 등이 될 수 있다.
	[ 정의 14 ]	도형이란 하나 이상의 경계로 (점,선,면 등)   둘러 싸인 영역/공간이다.

원	[ 정의 15 ]	원이란 원의 둘레라고 불리는 하나의 선 으로 둘러싸여 있으며 원의 중심으로부터 원의 둘레까지 뻗는 모든 선분들의 길이는 모두 같은 도형이다. 그리고 그러한 선분들을 반지름이라 부른다.
	[ 정의 16 ]	원의 중심이란 원의 한 가운데 있는 점을 말한다. 원의 중심은 원의 둘레까지의 거리는 항상 동일하다.
	[ 정의 17 ]	지름이란 원에서 가장 긴 직선으로 길이는 원의 둘레 경계에 제한되며, 원의 중심을 지나는 직선이다.
	[ 정의 18 ]	반원이란 원의 지름으로 인해 나누어진 둘레로 이루어진 도형이다. 반원의 중심은 원의 중심과 같다.

(추가적인 생각)
이는 결국, 현대적인 정의와 종합해 보면,
중심으로부터 같은 거리에 있는 선분의 끝점들의 모임과도 같다

다각형 (직선 도형)

[ 정의 19 ]

다각형(직선 도형)이란 직선으로 둘러싸인 도형이다. 삼각형(삼변형 도형) 세 직선으로 둘러 싸인 도형  사각형(사변형 도형)  네 직선으로 둘러 싸인 도형 다각형(다변형 도형) 네 직선보다 많은 직선으로 둘러 싸인 도형

(추가적인 생각)
둘러싸인 영역을 제외한 나머지 영역 무시한다.
즉, 둘러 싸인 영역을 벗어 난 선들은 무시한다.

삼각형 (삼변형 도형)	[ 정의 20]	(삼각형 변에 따른 분류) 정삼각형 : 세 변이 모두 같은 삼각형 이등변 삼각형 : 두 변만 같은 삼각형 부등변 삼각형 : 세 변이 모두 다른 삼각형
	[ 정의 21 ]	(삼각형 각에 따른 분류) 직각 삼각형 : 하나의 각도가 직각(90)도를 갖는 삼각형 둔각 삼각형 : 하나의 각도가 둔각을 갖는 삼각형 예각 삼각형 : 세 각이 모두 예각인 삼각형

사각형 (사변형 도형)

[ 정의 22 ]

정사각형 네변이 같고, 네 각이 모두 같은 사변형 직사각형 네 각이 모두 직각이지만, 네 변이 같지 않은 사변형 마름모 네 변이 같지만, 네 각이 직각이 아닌 사변형 마름모꼴(평행사변형) 마주 보는 변과 각이 서로 같지만, 네 변이 같지 않고 직각도 아닌 사변형 사다리꼴 위의 분류에 속하지 않는 다른 사변형

평행 직선 (평행선)

[ 정의 23 ]

평행직선(평행선)이란 같은 평면에서,직선을 양쪽 방향으로 무한히 연장해도 절대 만나지 않는 직선들이다.

 

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5개의 공리

(수학 모든 분야에서 기본적으로 사용되는 원칙, 증명 필요 없이 직관적으로 확인 가능)

※
A, B, C는 길이, 넓이, 부피등이 될 수 있다.
<원론>에서 유클리드는 연산자를 사용하지 않는다. (추상적 성향이 강하기 때문이다)

[ 공리 1 ]	A=B, B=C 이면 A=C이다.
[ 공리 2 ]	A=B 이면, A+C = B+C이다.
[ 공리 3 ]	A=B 이면, A-C = B-C이다.
[ 공리 4 ]	두 개의 도형이 완전히 겹쳐지면, 두 도형은 동일한 도형이다. (합동)
[ 공리 5 ]	전체는 전체의 일부보다 무조건 크다.

 

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5개의 공준

(기하학 내에서의 규칙으로 증명이 필요 없는 자명한 사실)

[ 공준 1 ]	두 점이 주어지면 두 점을 연결하는 직선을 그을 수 있다 는 기하학 규칙
[ 공준 2 ]	이미 주어진 종료된 선(선분)에 대해서 직선으로 연장할 수 있다 는 기하학 규칙
[ 공준 3 ]	임의의 한 점(A)과 임의의 간격(r)이 주어지면 해당 점(A)을 중심으로 하고, 일정한 간격(r)에 있는 점들로 원을 그릴 수 있다 는 기하학 규칙
[ 공준 4 ]	모든 직각은 90도로 크기가 같다는 기하학 규칙
[ 공준 5 ]	두 직선(b, c)을 가로지르는 직선이(a) 있을 때, 생성되는 동일한 쪽의 내각들의 합이 두 직각(180도) 보다 작으면, 두 직선(b, c)은 그쪽에서 결국 만난다. (평행선에 관한 기하학 규칙)

 

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48개의 명제

(증명이 필요한 문제로, 정의와 공리 그리고 공준으로 참임을 증명한다)

 

이에 대해서는 분량과
내가 느끼는 주관적으로 느낀 숨겨진 핵심을
좀 더 자세히 풀고 싶어
다음 글에 작성할 것이다.

그리고, 시간이 되면 정의, 공리, 공준에 대하여 그림을 포함시키고 싶은 마음이 있다.

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※ 해당 게시글은 주제를 탐구하면서 주관적인 생각을 정리 한 글입니다.