[수학][5] 유클리드 기하학 <원론> 1권 - 2 (명제 1)

※ 해당 게시글은 주제를 탐구하면서 주관적인 생각을 정리 한 글입니다.

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이전 글을 통해서, 유클리드 기하학 <원론> 1권의 구성 중

23개의 정의
5개의 공리
5개의 공준

대해 알아보았다.

그리고 1권에만 48개의 명제가 존재하는데 그중
첫 번째 명제에 대해 알아보겠다.

[수학][4] 유클리드 기하학 <원론> 1권 - 1 (정의,공리,공준,명제)

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따라서 이번글의 주제는

<유클리드 기하학 <원론>  제1권 명제 1>

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주어진 종료된 직선(선분) 위에 정삼각형 그리기

사용되는 정의

• [1권 - 정의 15] : 원은 하나의 특이한 선으로 둘러싸인 평면 도형이다. 이 특이한 선은 원의 둘레라고 부르며, 원의 중심으로부터 원의 둘레까지 뻗는 모든 직선들은 반지름이며, 그 길이는 모두 같다.
• [1권 - 정의 20] : 삼각형(삼변형 도형) 변에 따른 분류 중 정삼각형 : 세 변이 모두 같은 삼각형

사용되는 공리

• [공리 1] : A=B, B=C 이면 A=C이다.

사용되는 공준

• [공준 1] : 두 점이 주어지면 두 점을 연결하는 직선을 그을 수 있다는 규칙
• [공준 3] : 하나의 점(A)과 해당 점을 끝점으로 하는 간격(r)이 주어지면 해당 점(A)을 중심으로 하고, 일정한 간격(r)에 있는 점들로 원을 그릴 수 있다는 규칙

 

[명제 1]
주어진 종료된 직선(선분) 위에 정삼각형 그리기
※증명에 사용된 그림은 알지오매스 사이트를 통해  제작하였습니다.

 

- 0 -
종료된 직선(선분)의 양끝 점을 각각 A, B라 하고, 종료된 직선을 AB라 부르자.

- 1 -
[공준 3]에 따라 점 A를 중심으로 하고, 선분 AB를 간격(r)으로 정해 원(1)을 그린다.

- 2 -
[공준 3]에 따라 점 B를 중심으로 하고, 선분 AB를 간격(r)으로 정해 원(2)을 그린다.

- 3 -
(1), (2)를 통해서 생성된 두 원의 교점 중 하나를 점 C라 부르자.

- 4 -
[공준 1]에 따라 점 A와 점 C를 연결하는 직선(AC)을 그린다.

- 5 -
[공준1]에 따라 점 B와 점 C를 연결하는 직선(BC)을 그린다.

 

- 6 -
[1권 정의 15]에 따라 점 A를 중심으로 하는 원(1)에 대하여
선분 AC, 선분 AB는 원(1)에 반지름이므로
선분 AC=선분 AB이다.

 

- 7 -
[1권 정의 15]에 따라 점 B를 중심으로 하는 원(2)에 대하여
선분 BC, 선분 AB는 원(2)에 반지름이므로
선분 BC=선분 AB이다.

 

- 8 -
[공리 1]에 따라
선분 AC=선분 AB,
선분 BC=선분 AB
이므로
선분 AC=선분 BC이다.

 

- 9 -
따라서 [1권 정의 20]에 따라
선분 AB=선분 BC=선분 AC
세 변의 길이가 같으므로
삼각형 ABC는 정삼각형이다.

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주관적 핵심
(주관적으로 느낀 숨겨진 핵심)

- 1 -
 명제를 증명하는 데 있어서 정의, 공리 그리고 공준만을 사용한 것
이는, 유클리드 기하학이 논리적이고 체계적임을 밝힌다. 

- 2 -
선분AB가 원(1), 원(2)의 공통적인 선분인 것
어쩌면 그것을 유도 한 것일 수도 있다.

- 3 -
정삼각형의 그리는 방법보다는, 왜 정삼각형인가에 초점에 맞추어 증명을 보아야 한다.

- 4 -
정삼각형이 1권의 첫 번째 명제인 이유는
대칭적이고, 균형적인 도형 중 가장 기초적인 도형이기 때문이다.
이를 통해 더 복잡한 도형을 이끌어 낼 수 있다. (유도할 수 있다.)

 

이번 글은 요기서 마치며, 다음 주제는 이어서 1권 명제 2를 탐구할 것 같다.

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※ 해당 게시글은 주제를 탐구하면서 주관적인 생각을 정리 한 글입니다.