[수학][7] 유클리드 기하학 <원론> 1권 - 4 (명제 3)

※ 해당 게시글은 주제를 탐구하면서 주관적인 생각을 정리 한 글입니다.

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이전 글을 통해서 유클리드 기하학 <원론> 1권의 48개의 명제 중

명제 2에 대해 알아보았다.

이어서 명제 3에 대해 알아보겠다.

[수학][6] 유클리드 기하학 <원론> 1권 - 3 (명제 2)

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따라서 이번글의 주제는

< 유클리드 기하학 <원론> 제1권 명제 3 >

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길이가 같지 않은 주어진 두 종료된 직선(선분)에 대하여
길이가 긴 선분에서 짧은 선분과 같은 길이만큼 빼기

사용되는 정의

• [1권 정의 15] : 원은 하나의 특이한 선으로 둘러싸인 평면 도형이다. 이 특이한 선은 원의 둘레라고 부르며, 원의 중심으로부터 원의 둘레까지 뻗는 모든 직선들은 반지름이며, 그 길이는 모두 같다.

사용되는 공리

• [공리 1] : A=B, B=C 이면 A=C이다.

사용되는 공준

• [공준 3] : 하나의 점(A)과 해당 점을 끝점으로 하는 간격(r)이 주어지면 해당 점(A)을 중심으로 하고, 일정한 간격(r)에 있는 점들로 원을 그릴 수 있다는 규칙

사용되는 명제

• [1권 - 명제 2] : 주어진 종료된 직선(선분)과 같은 길이를 가지고 주어진 점을 끝점으로 하는 직선 그리기

 

[명제 3]
길이가 같지 않은 주어진 두 종료된 직선(선분)에 대하여
길이가 긴 선분에서 짧은 선분과 같은 길이만큼 빼기
※증명에 사용된 그림은 알지오매스 사이트를 통해  제작하였습니다.

- 0 -
길이가 같지 않은 두 종료된 직선(선분) 중 더 선분을 AB , 작은 선분을 CD라고 하자.

 

- 1 -
[1권 - 명제 2]에 따라 점 A를 끝점으로 하고 선분 CD와 같은 길이를 가진 선분 AE을 그린다.

 

- 2 -
[공준 3]에 따라 점 A를 중심으로 하고, 선분 AE를 간격(r)으로 정해 원(1)을 그린다.
이때 원(1)과 선분 AB가 만나는 점을 F라고 하자.

 

- 3 -
[1권 정의 15]에 따라 원(1)의 중심은 A이므로, 선분 AE와 선분 AF는 같다.(선분 AE=선분 AF)

 

- 4 -
[공리 1]에 따라
선분 CD = 선분 AE
선분 AE = 선분 AF
이므로
선분 CD=선분 AF
이다.

- 5 -
따라서
두 종료된 직선 AB와 CD에 대해서,
더 긴 선분 AB에서 선분 AF를 빼는 것이 선분 CD를 빼는 것과 같다.

 

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주관적 핵심
(주관적으로 느낀 숨겨진 핵심)

 

- 1 -
이전 명제들과 같이 명제를 증명하는 데 있어서 정의, 공리, 공준 그리고 명제를 이용한 것

- 2 -
어느 선분에 대하여 같은 길이만큼 복제, 덧셈, 뺄셈 등 동일한 길이를 활용하고 싶을 때
특히, 원을 이용한다는 것이 핵심이라 생각한다.

 

이번 글은 요기서 마치며 , 다음 주제는 이어서 1권 명제 4에 대해 탐구할 것 같다.

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※ 해당 게시글은 주제를 탐구하면서 주관적인 생각을 정리 한 글입니다.