[수학][8] 유클리드 기하학 <원론> 1권 - 5 (명제 4)

※ 해당 게시글은 주제를 탐구하면서 주관적인 생각을 정리 한 글입니다.

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이전 글을 통해서 유클리드 기하학 <원론> 1권 48개의 명제 중

명제 3에 대해 알아보았다.

이어서 명제 4에 대해 알아보겠다.

[수학][7] 유클리드 기하학 <원론> 1권 - 4 (명제 3)

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따라서 이번글의 주제는

< 유클리드 기하학 <원론> 제1권 명제 4 >

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대응되는 두 변의 길이가 같고
그 사잇각의 크기가 같은 두 삼각형에 대해서
나머지 한 변이 같아지면서 두 삼각형은 합동이 된다.
이에 따라 나머지 두 각도 모두 같아지게 된다.
(SAS 합동) 

사용되는 공리

• [공리 4] : 두 개의 도형이 완전히 겹쳐지면, 두 도형은 동일한 도형이다. (합동)

사용되는 공준

• [공준 1] : 두 점이 주어지면 두 점을 연결하는 직선을 그을 수 있다는 규칙

 

[명제 4]
대응되는 두 변의 길이가 같고 그 사잇각의 크기가 같은 두 삼각형에 대해서
나머지 한 변이 같아지면서 두 삼각형은 합동이 된다.
이에 따라 나머지 두 각도 모두 같아지게 된다.
(SAS 합동) 
※증명에 사용된 그림은 알지오매스 사이트를 통해  제작하였습니다.

 

- 0 -
삼각형 ABC와 삼각형 DEF가 존재한다.
이때 AB=DE, AC=DF이며 그 사잇각인 각 BAC = 각 EDF이다.

 

- 1 -
삼각형 ABC를 삼각형 DEF위에 올린다.
이때 점 A와 점 D를 맞추고, 직선 AB와 직선 DE의  겹친다.

 

- 2 -
그러면 선분 AB와 선분 DE의 길이는 같으므로 점 B와 점 E를 겹쳐진다.

 

- 3 -
그리고 각 BAC와 각 EDF가 같기 때문에, 직선 AC와 직선 DF가 같아진다.

 

- 4 -
이어서 선분 AC와 선분 DF의 길이가 같기 때문에 점 C와 점 F도 겹쳐진다.

 

- 5 -
따라서 [공준 1]에 따라
점 B와 점 C를 연결하는 직선을 그렸을 때
점 E와 점 F를 연결하는 직선을 그렸을 때
같다. (점 B=점 E, 점 C=점 F 이기 때문이다.)

 

- 6 -
결국 삼각형 ABC와 삼각형 DEF가 완전히 겹쳐지게 되고
[공리 4]에 따라 두 도형은 합동이게 된다.
그러므로
나머지 대응되는 두 각의 크기도 같아지게 된다.
(각 ABC=각 DEF, 각 ACB=각 DFE)

 

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주관적 핵심
(주관적으로 느낀 숨겨진 핵심)

 

- 1 -
[명제 4]에서 중요 포인트는 어찌 되었든 주어진 조건을 이용해
[공준 1]에 따라 나머지 한 변이 동일하다는 것을 이끌어낸 부분이
중요하다고 생각한다.

즉,
반드시 참이라는 공리와 공준을 결국 이용해서 증명을 유도했다는 것이다.

 

사실 이번 명제의 핵심이라 할 것은 없는 느낌이었다.
이에 대해 자신만의 숨겨진 핵심이 있다면, 공유해 주시면 감사하겠습니다.

이번 글은 요기서 마치며, 다음 주제는 이어서 1권 명제 5에 대해 탐구할 것 같다.

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※증명에 사용된 그림은 알지오매스 사이트를 통해  제작하였습니다.