[수학][28] 유클리드 기하학 <원론> 1권 - 중간 정리 (명제 1 ~ 명제 23)

※ 해당 게시글은 주제를 탐구하면서 주관적인 생각을 정리 한 글입니다.

---

이전 글들을 통해서

존재라는 것을 인식하고, 이해한다는 것은

다른 무언가와 상호작용이 발생한다는 것이므로,

명제를 이해하는 데 있어서도,

명제가 어떻게 사용되는지, 무엇과 상호작용을 하는지 파악하면

해당 명제의 존재를 이해할 수 있다고 보았다.

따라서

명제들 사이의 관계를 탐구해 보았고,

이전에 탐구하였던 명제 1~23까지의 상호작용과 관계를

이번 글을 통해 정리해 보겠다.

---

< 유클리드 기하학 <원론> 1권 중간 정리 (명제 1~명제 23) >

 

명제 1 ~ 명제 23까지 다시 한번 살펴본 결과

크게 두 가지 분류로 나눌 수 있었다.

 

무(無)에서 유(有)를 생성하는 명제

유(有)와 유(有)를 비교하는 명제

 

이렇게 두 가지 명제로 분류할 수 있었다.

이에 대해 각 명제에 적용시키면 아래와 같은 결과를 얻을 수 있었다.

명제 1 : 생성
명제 2 : 생성
명제 3 : 생성

명제 4 : 비교
명제 5 : 비교
명제 6 : 비교
명제 7 : 비교
명제 8 : 비교

명제 9 : 생성
명제 10 : 생성
명제 11 : 생성
명제 12 : 생성

명제 13 : 비교
명제 14 : 비교
명제 15 : 비교
명제 16 : 비교
명제 17 : 비교
명제 18 : 비교
명제 19 : 비교
명제 20 : 비교
명제 21 : 비교

명제 22 : 생성
명제 23 : 생성

이를 다시 표로 표현하면 아래와 같다. 

< 생성 >	< 비교 >
명제 1 : 생성 명제 2 : 생성 명제 3 : 생성 명제 9 : 생성 명제 10 : 생성 명제 11 : 생성 명제 12 : 생성 명제 22 : 생성 명제 23 : 생성	명제 4 : 비교 명제 5 : 비교 명제 6 : 비교 명제 7 : 비교 명제 8 : 비교 명제 13 : 비교 명제 14 : 비교 명제 15 : 비교 명제 16 : 비교 명제 17 : 비교 명제 18 : 비교 명제 19 : 비교 명제 20 : 비교 명제 21 : 비교

---

< 생성 >

명제 1 ~ 명제 23 중에서 무(無)에서 유(有)를 생성하는 명제들을

좀 더 구체적으로 분류하면 아래와 같다.

1. 주어진 선분과 같은 길이를 가지는 선분 생성	2. 지정된 길이를 가지는 선분 생성
[명제 1] 주어진 선분의 한 점을 포함하고, 각도는 60° or 120°이며 주어진 길이와 같은 선분 생성	[명제 10] 주어진 선분을 이등분 하는 두 개의 선분 생성 (선분을 이등분하는 점 생성)
[명제 2] 주어진 선분의 한 점을 포함하고, 각도는 0° or 360°이며 주어진 길이와 같은 선분 생성
[명제 3] 길이가 다른 두 개의 선분이 주어졌을 때, 더 긴 선분 위에 더 작은 길이를 가진 선분과 같은 길이를 가진 선분 생성
[명제 22] 주어진 세 개의 선분과 같은 길이를 가지는 세 변으로 구성된 삼각형 생성

 

3. 주어진 각도와 같은 크기를 가지는 직선 생성	4. 지정된 각도를 가지는 직선 생성
[명제 23] 주어진 직선 위의 한 점에서, 주어진 각과 같은 크기의 각도를 생성	[명제 1] 각도가 60° or 120°인 직선 생성
	[명제 9] 주어진 각도를 이등분 하는 직선 생성
	[명제 11] 주어진 직선 위의 한 점에서, 각도가 90°인 직선 생성
	[명제 12] 주어진 직선 밖의 한 점에서, 각도가 90°인 직선 생성

 

---

< 비교 >

명제 1 ~ 명제 23 중에서 유(有)와 유(有)를 비교하는 명제들을

좀 더 구체적으로 분류하면 아래와 같다.

1. 길이 비교	2. 각도 비교
[명제 7] 삼각형의 두 변이 각각 특정한 길이를 가질 때, 그 변들이 만나는 교점은 반드시 하나뿐이다. 따라서 교점이 다르다면, 대응되는 두 변 중 최소 하나의 길이는 같을 수 없다.	[명제 13] 주어진 직선 위의 한 점에서 세워진 직선의 이웃각의 합은 두직각의 합(180도°)와 같다.
[명제 20] 모든 삼각형에 대해서, 두 변의 길이의 합은 나머지 한 변의 길이보다 더 크다.	[명제 14] 주어진 직 선위의 한 점에서 두 직선을 그릴 때, 두 직선의 이웃각들의 합이 두 직각의 합(180°)이면 서로 다른 두 직선은 하나의 직선 상에 있다.
	[명제 15] 두 직선이 교차할 때 생성되는 맞꼭지각들은 서로 같다.
	[명제 16] 삼각형의 한 변을 연장하면서 생성되는 외각의 크기는 반대쪽 내각들의 각각의 크기보다 크다.
	[명제 17] 삼각형에 대하여, 아무 두 내각의 합은 두 직각의 합(180°)보다 작다.
	[명제 18] 모든 삼각형에 대해서, 길이가 긴 변일 수록 마주보는 대각의 크기도 크다.
	[명제 21] 삼각형의 변들 중 한 변의 양 끝점으로부터 두 종료된 직선이 삼각형 내부의 한 점에서 만나도록 하여 새로운 두 변을 생성하면,     새로운 두 변의 길이의 합은 주어진 삼각형의 두 변의 길이의 합보다 작고, 새로운 두 변에 의해 만들어진 각은 주어진 삼각형의 두 변이 이루는 각보다 크다.

3. 각도와 길이 모두 비교

[명제 4] 두 삼각형의 대응되는 두 변의 길이가 같고 그 사잇각의 크기가 같으면 나머지 한 변과, 두 각 모두 같다.

[명제 5] 삼각형의 두 변의 길이가 같으면, 두 밑각의 크기가 같다.

[명제 6] 삼각형의 두 각이 같으면, 그 각들과 마주보는 두 변도 같다.

[명제 8] 두 삼각형의 대응되는 세 변의 길이가 같으면, 나머지 대응되는 각들도 모두 같다.

[명제 19] 모든 삼각형에 대해서, 각이 더 큰 각일 수록 마주보는 대변의 길이도 더 길다.

 

---

< 추가적으로 탐구해야 할 부분  >

- 1 -

명제가 많기 때문에 가독성이 떨어진다.

하지만 명제의 번호만 적으면, 내용을 알 수 없기 때문에

의미가 없다고 생각한다.

따라서 이를 어떻게 정리해야 깔끔하게 파악할 수 있을지 

탐구할 필요가 있다.

 

- 2 -

위의 정리를 통해 명제가 크게 어떠한 상호작용을 

하는지 파악할 수 있다.

하지만 명제와 명제 사이에서 발생하는 상호작용에 대해서는

미흡한 부분이 있는 것 같다.

이에 대해서도 탐구할 필요가 있다고 생각한다.

 

- 3 -

정의, 공리, 공준은

생성과 비교를 위한 기본적인 도구인 것 같다. 

이에 대해서도 탐구할 필요가 있다고 생각한다.

 

이번 글은 요기서 마치며, 정리 글은 지속적으로 수정할 것 같다.

---

※ 해당 게시글은 주제를 탐구하면서 주관적인 생각을 정리 한 글입니다.